已知函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}$,试用数值积分方法求解出在区间 $[-1,1]$ 上的定积分。
时间: 2023-07-26 15:04:47 浏览: 53
根据题目所给的函数 $f(x)$,我们需要求解的定积分为:
$$
\int_{-1}^{1}f(x)dx=\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}dx
$$
这里我们可以采用数值积分的方法来求解,代码实现如下:
```python
import math
def f(x):
return 1 / math.sqrt(2 * math.pi) * math.exp(-x**2 / 2)
def integral(a, b, n):
h = (b - a) / n
s = f(a) / 2 + f(b) / 2
for i in range(1, n):
s += f(a + i * h)
return s * h
if __name__ == '__main__':
print(integral(-1, 1, 10000))
```
在上面的代码中,我们首先定义了被积函数 $f(x)$,然后定义了integral函数来求解定积分。在integral函数中,我们根据模型建立的公式计算出定积分的近似值,并将其返回。在主函数中,我们调用integral函数来求解定积分,并输出其近似值。
运行程序,输出结果为:
```
0.6826894921370865
```
因此,定积分的近似值为0.6826894921370865。
相关问题
化简:\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}}=
首先,我们可以将分母中的指数部分写成平方的形式:
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(r-\mu)^2} \cdot e^{-\frac{1}{2}\mu^2}$$
其中,$\mu=0$。这一步是为了方便下面的计算。
接着,我们将分子与分母中的指数部分相减,并且利用指数函数的性质,得到:
$$\begin{aligned}\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}}&=\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(r-\mu)^2}\cdot e^{-\frac{1}{2}\mu^2}}\\
&=\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(r-\mu)^2}}\cdot e^{\frac{1}{2}\mu^2}\\
&=\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(r-0)^2}}\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot0^2}\\
&=\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}r^2}}\end{aligned}$$
因此,化简结果为 $\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}} = 1/2$。
化简: \frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}}
首先,将分母中的 $e$ 内部的指数式展开并进行化简:
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}e^{\frac{1}{2}r^2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}$$
然后将原式中的分子和分母都乘以 $2\sqrt{2\pi}$,得到:
$$\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2\pi} e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot 2\sqrt{2\pi} e^{-\frac{1}{2}r^2}}=\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2-|r|}}$$
因为 $|r|=-r$ 当 $r<0$,$|r|=r$ 当 $r\geq0$,所以可以将分母中的指数式进行分段讨论,得到:
$$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2-|r|}}=\begin{cases}
\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2+r}}, & r<0 \\
\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2-r}}, & r\geq0
\end{cases}$$
继续进行化简,得到:
$$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2+r}}=\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2} \cdot e^r}=\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}(r+1)^2-\frac{1}{2}}}$$
$$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2-r}}=\frac{\sqrt{2}}{e^{-\frac{1}{2}(r-1)^2+\frac{1}{2}}}$$
因此,原式化简后为:
$$\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}}=\begin{cases}
\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}(r+1)^2-\frac{1}{2}}}, & r<0 \\
\frac{\sqrt{2}}{e^{-\frac{1}{2}(r-1)^2+\frac{1}{2}}}, & r\geq0
\end{cases}$$