化简: \frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}}
时间: 2023-10-26 11:32:53 浏览: 27
首先,将分母中的 $e$ 内部的指数式展开并进行化简:
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}e^{\frac{1}{2}r^2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}$$
然后将原式中的分子和分母都乘以 $2\sqrt{2\pi}$,得到:
$$\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2\pi} e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot 2\sqrt{2\pi} e^{-\frac{1}{2}r^2}}=\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2-|r|}}$$
因为 $|r|=-r$ 当 $r<0$,$|r|=r$ 当 $r\geq0$,所以可以将分母中的指数式进行分段讨论,得到:
$$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2-|r|}}=\begin{cases}
\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2+r}}, & r<0 \\
\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2-r}}, & r\geq0
\end{cases}$$
继续进行化简,得到:
$$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2+r}}=\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2} \cdot e^r}=\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}(r+1)^2-\frac{1}{2}}}$$
$$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2-r}}=\frac{\sqrt{2}}{e^{-\frac{1}{2}(r-1)^2+\frac{1}{2}}}$$
因此,原式化简后为:
$$\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}}=\begin{cases}
\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}(r+1)^2-\frac{1}{2}}}, & r<0 \\
\frac{\sqrt{2}}{e^{-\frac{1}{2}(r-1)^2+\frac{1}{2}}}, & r\geq0
\end{cases}$$
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