\frac{M}{N \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx}

这个公式表示考研的竞争程度模型，其中 $M$ 表示招生人数，$N$ 表示考研人数，$\mu$ 表示数学水平达到一定要求的考研人数的平均值，$\sigma$ 表示数学水平达到一定要求的考研人数的标准差。

这个公式中，$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx$ 表示数学水平达到一定要求的考研人数占总考研人数的比例，即 $p$。考研的竞争程度 $C$ 就是招生人数 $M$ 与数学水平达到一定要求的考研人数占总考研人数的比例 $p$ 的商。

这个公式可以用来分析考研的竞争程度，当 $\mu$ 增大、$\sigma$ 减小、$M$ 增大或 $N$ 减小时，考研的竞争程度 $C$ 会增加。反之，当 $\mu$ 减小、$\sigma$ 增大、$M$ 减小或 $N$ 增大时，考研的竞争程度 $C$ 会减小。

相关问题

$N = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot a \cdot \sqrt{n_{\text{core}}^2 - n_{\text{clad}}^2}$

这个公式描述了光纤的模式数与入射光波长、光纤半径和光纤的折射率之间的关系。其中，$N$表示模式数，$\lambda$表示入射光波长，$a$表示光纤半径，$n_{\text{core}}$表示光芯的折射率，$n_{\text{clad}}$表示包层的折射率。这个公式可以帮助我们了解在特定条件下，光纤可以支持多少个不同的传输模式。

\int_0^{\sqrt{3} a} \frac{d x}{d^2+x^2}

这是一个积分问题，需要使用积分的基本公式来解决。

首先，可以将被积函数 $\frac{dx}{d2x^2}$ 拆分为 $\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(\frac{dx}{dx^2}\right)$，然后应用分部积分公式，得到：

$$\begin{aligned} \int_0^{\sqrt{3}a} \frac{dx}{d2x^2} dx &= \frac{1}{2} \left[\frac{dx}{dx^2} \cdot x\right]_0^{\sqrt{3}a} - \frac{1}{2} \int_0^{\sqrt{3}a} \frac{d}{dx}\left(\frac{dx}{dx^2}\right)dx \\ &= \frac{1}{2} \left[\frac{dx}{dx^2} \cdot x\right]_0^{\sqrt{3}a} - \frac{1}{2} \left[\frac{d^2 x}{dx^3}\right]_0^{\sqrt{3}a} \end{aligned}$$

其中，第一个积分使用了分部积分公式，第二个积分使用了求导的基本规则。

现在需要计算 $\frac{dx}{dx^2}$ 和 $\frac{d^2 x}{dx^3}$，这可以通过简单的微积分求解。由于没有给出被积函数的具体形式，因此需要假设被积函数是 $f(x)$，则有：

$$\begin{aligned} \frac{dx}{dx^2} &= \frac{d}{dx} \left(\frac{df(x)}{dx^2}\right) \\ &= \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2} \frac{d f(x)}{dx}\right) \\ &= \frac{1}{2} \frac{d^2 f(x)}{dx^2} \\ \\ \frac{d^2 x}{dx^3} &= \frac{d}{dx} \left(\frac{d^2 f(x)}{dx^3}\right) \\ &= \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{3} \frac{d^3 f(x)}{dx^3}\right) \\ &= \frac{1}{3} \frac{d^4 f(x)}{dx^4} \end{aligned}$$

将上述结果代入原式，可以得到：

$$\begin{aligned} \int_0^{\sqrt{3}a} \frac{dx}{d2x^2} dx &= \frac{1}{2} \left[\frac{1}{2} \frac{d^2 f(x)}{dx^2} \cdot x\right]_0^{\sqrt{3}a} - \frac{1}{2} \left[\frac{1}{3} \frac{d^4 f(x)}{dx^4}\right]_0^{\sqrt{3}a} \\ &= \frac{1}{4} \left(\sqrt{3}a\right) \frac{d^2 f(\sqrt{3}a)}{dx^2} - \frac{1}{6} \frac{d^4 f(\sqrt{