$$G(\mathbf{x},\mathbf{y})=\frac{e^{i k r}}{r+\varepsilon} \mathbf{1}{{r>0}}+(N+k i) \mathbf{1}{{r=0}}$$的数学表达式是什么

这是一个关于位置向量 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 的函数 $G(\mathbf{x},\mathbf{y})$，其中 $r=|\mathbf{x}-\mathbf{y}|$ 是它们之间的距离。$\varepsilon$ 和 $N$ 是常数，$i$ 是虚数单位，$\mathbf{1}\{P\}$ 是指示函数（当 $P$ 成立时为 $1$，否则为 $0$）。它的数学表达式为：

$$
G(\mathbf{x},\mathbf{y})=\begin{cases}
\dfrac{e^{ikr}}{r+\varepsilon}, & r>0 \\
(N+ki), & r=0
\end{cases}
$$

相关问题

\begin{equation} \inf _{\kappa \geq 0}\left(\begin{array}{cc} \min _{\mathbf{u} \in \mathbb{R}^N, v \in \mathbb{R}, u_0 \in \mathbb{R}} & \left(\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \sigma_{i, j} u_i u_j+\sigma_{N+1, N+1}(\kappa) v^2\right. \\ & \left.+2 \sum_{i=1}^N \sigma_{N+1, i}(\kappa) u_i v\right) \\ \text { s.t. } & \sum_{i=1}^N u_i \bar{r}_i+v \bar{r}_{N+1}(\kappa)+u_0 r_f=\mu x_0, \\ & \sum_{i=1}^N u_i+v+u_0=x_0-\kappa . \end{array}\right) \cdot \quad\left(\operatorname{MVE}_\rho\left(\mu, x_0\right)\right) \end{equation}

\frac{1}{2}\|\mathbf{u}\|^2+\kappa(v-u_0)^2 \\ \text { subject to } \\ \nabla \cdot \mathbf{u}=0, \quad \nabla \cdot(\frac{\rho}{\kappa}\nabla v)=0 \end{array}\right) \end{equation}

对于这个问题，它是一个求解椭圆型偏微分方程的最优化问题。其中，$\mathbf{u}$ 表示速度场，$v$ 表示势场，$\rho$ 表示密度，$u_0$ 表示边界条件中的速度。$\nabla$ 表示梯度运算符，$\nabla \cdot$ 表示散度运算符。

由于此问题较为复杂，需要使用数值方法进行求解。其中一个可行的方法是使用有限元方法（Finite Element Method，FEM）进行求解，该方法可以将问题离散化，转化为求解一系列线性方程组的问题。具体地，可以使用PDE工具箱（如FEniCS）来实现该问题的求解。

需要注意的是，该问题需要满足一些条件才能有稳定的解，如LBB条件等。此外，对于具体问题的求解，需要给定边界条件、初始条件、参数等。

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0 $$

这是质量守恒方程的连续性方程形式，描述了一个流体在运动过程中质量的守恒性质。其中，$\rho$是流体的密度，$t$是时间，$\mathbf{u}$是流体的速度矢量，$\nabla\cdot$表示散度运算符，描述了流体在空间中的变化。这个方程表达的意思是，质量是不会被创造或者消失的，只会在空间中传输和变化。