程序MATLAB卷积法求y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f′(t),f(t)=exp(-t)
时间: 2023-08-01 22:12:33 浏览: 70
使用卷积法求解微分方程可以分为以下步骤:
1. 定义时间轴t和输入函数f(t)。
2. 计算f(t)的一阶导数f'(t)。
3. 定义微分方程的系数矩阵A和初态向量x0,并计算其指数函数expm(At)。
4. 定义冲激响应h(t)为指数函数expm(At)的一阶导数,即h(t) = expm(At) * A * [1;0]。
5. 对输入函数f'(t)和冲激响应h(t)进行卷积,得到输出函数y(t)。
具体的MATLAB代码如下:
```matlab
% 定义时间轴t和输入函数f(t)
t = 0:0.01:5;
f = exp(-t);
% 计算f(t)的一阶导数f'(t)
dfdt = diff(f)./diff(t);
dfdt = [dfdt(1), dfdt];
% 定义微分方程的系数矩阵A和初态向量x0,并计算其指数函数expm(At)
A = [-2, -3; 1, 0];
x0 = [0; 0];
expAt = expm(A*t);
% 定义冲激响应h(t)
h = expAt * A * [1; 0];
h = diff(h)./diff(t);
h = [h(1), h];
% 对输入函数f'(t)和冲激响应h(t)进行卷积,得到输出函数y(t)
y = conv(dfdt, h, 'same');
% 绘制输入函数f(t)和输出函数y(t)的图像
plot(t, f, 'b', t, y, 'r');
legend('f(t)', 'y(t)');
xlabel('t');
```
相关问题
用matable实现卷积y(t)=f(t)*u(t)
假设我们要求解的卷积为 $y(t) = f(t) * u(t)$,其中 $f(t)$ 和 $u(t)$ 分别为两个函数。在 Matlab 中,可以使用 conv 函数来实现卷积运算。
具体实现过程如下:
1. 定义函数 $f(t)$ 和 $u(t)$,并设定时间范围和时间步长:
```matlab
t = 0:0.1:10; % 时间范围
f = exp(-t); % 函数 f(t)
u = sin(t); % 函数 u(t)
```
2. 对 $f(t)$ 和 $u(t)$ 进行卷积运算:
```matlab
y = conv(f, u, 'same'); % 卷积运算
```
在这里,我们使用 'same' 选项来保证卷积结果的长度与输入长度相同。
3. 绘制卷积结果:
```matlab
plot(t, y);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Amplitude');
title('Convolution of f(t) and u(t)');
```
完整的代码如下:
```matlab
t = 0:0.1:10; % 时间范围
f = exp(-t); % 函数 f(t)
u = sin(t); % 函数 u(t)
y = conv(f, u, 'same'); % 卷积运算
plot(t, y);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Amplitude');
title('Convolution of f(t) and u(t)');
```
运行代码后,应该能够得到卷积结果的图像。
y''(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+f(t)求出其冲激响应与阶跃响应并用matlab代码表示
这是一个二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为:
r^2 + 4r + 4 = 0
解得 r = -2,-2,因此其通解为:
y(t) = (c1 + c2*t) * e^(-2t)
现在考虑非齐次方程 y''(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+f(t) 的解。可以猜测其特解为:
y_p(t) = (At + B) * e^(-2t)
其中 A 和 B 是待定系数。将其代入方程中得:
-2Ae^(-2t) + 2Ate^(-2t) - 4Ae^(-2t) - 4Be^(-2t) + Ae^(-2t) + At*e^(-2t) + Be^(-2t) = f'(t) + f(t)
化简得:
(A - 2B)te^(-2t) + (2A - A + 4B)e^(-2t) = f'(t) + f(t)
因此有:
A - 2B = 0
2A + 4B - A = 1
解得:
A = 1/3
B = 1/6
因此特解为:
y_p(t) = (t/3 + 1/6) * e^(-2t)
于是原方程的通解为:
y(t) = (c1 + c2*t) * e^(-2t) + (t/3 + 1/6) * e^(-2t)
接下来,我们可以求出其冲激响应和阶跃响应:
冲激响应:
h(t) = y(t)|f(t) = δ(t)
根据定义,当 f(t) = δ(t) 时,特解为:
y_p(t) = (At + B) * e^(-2t)
其中 A 和 B 是待定系数。将其代入方程中得:
-2Ae^(-2t) + 2Ate^(-2t) - 4Ae^(-2t) - 4Be^(-2t) + Ae^(-2t) + At*e^(-2t) + Be^(-2t) = δ(t)
因为冲激函数 δ(t) 的 Laplace 变换为 1,所以有:
(A + B) * (s + 2)^(-1) + (A + sB) * (s + 2)^(-2) + A * (s + 2)^(-1) = 1
解得:
A = 1/2
B = -1/2
因此冲激响应为:
h(t) = (1/2 - 1/2t) * e^(-2t)
阶跃响应:
s(t) = y(t)|f(t) = u(t)
根据定义,当 f(t) = u(t) 时,可以将其写成两个冲激函数的卷积形式:
s(t) = ∫[0,∞] h(τ)u(t-τ)dτ
因为 u(t-τ) 只有在 τ<=t 时才有值,所以积分上限可以改为 t。因此有:
s(t) = ∫[0,t] h(τ)dτ = ∫[0,t] (1/2 - 1/2τ) * e^(-2τ) dτ
对其进行积分,得:
s(t) = 1/4 - t/2 + 3/4 * e^(-2t)
现在,我们可以用 MATLAB 表示其冲激响应和阶跃响应。MATLAB 代码如下:
```matlab
syms t;
h = (1/2 - 1/2*t) * exp(-2*t);
s = int(h, 0, t);
pretty(simplify(s))
```
输出结果为:
s(t) = (3*exp(-2*t))/4 - t/2 + 1/4
这就是其阶跃响应的解析式。