206x≡114(mod 422)

根据同余方程的性质，方程两边同时乘以某个数，余数仍然相等，因此可以将方程两边同时乘以关于x的某个数，使得系数可以被化简。首先，可以将206和422分别表示为它们的质因数乘积的形式：

206 = 2 × 103
422 = 2 × 211

因此，方程可以写成：

2 × 103x ≡ 114 (mod 2 × 211)

化简系数2，得到：

103x ≡ 57 (mod 211)

下一步，可以使用扩展欧几里得算法来求解这个同余方程。扩展欧几里得算法可以求出两个整数a和b的最大公约数gcd(a,b)，并且在求解过程中可以得到一组整数s和t，使得gcd(a,b) = sa + tb。

将103和211代入扩展欧几里得算法中，得到：

gcd(103, 211) = 1
1 = 2 × 103 - 1 × 211

因此，可以将1表示为103和211的线性组合，即：

1 ≡ 2 × 103 - 1 × 211 (mod 211)

将上式两边同时乘以57，得到：

57 ≡ 114 × 103 - 57 × 211 (mod 211)

因为103x ≡ 57 (mod 211)，所以可以取x = 114 × 103 - 57 × 211。因此，方程的解为：

x ≡ 114 × 103 - 57 × 211 (mod 422)

相关问题

由以下方程组求x。 x≡1mod2 x ≡2mod3 x≡3mod5 x≡5mod7

我们可以使用中国剩余定理来求解这个方程组。

首先，根据第一个条件，可以写成 x = 2k+1 的形式，其中k为整数。

将其代入第二个条件，得到 2k+1 ≡ 2 (mod 3)，即 2k ≡ 1 (mod 3)。由于2在模3意义下的逆元为2，因此可以将其乘以2，得到 k ≡ 2 (mod 3)。

将其代入第三个条件，得到 2k+1 ≡ 3 (mod 5)，即 2k ≡ 2 (mod 5)。由于2在模5意义下的逆元为3，因此可以将其乘以3，得到 k ≡ 3 (mod 5)。

将其代入第四个条件，得到 2k+1 ≡ 5 (mod 7)，即 2k ≡ 4 (mod 7)。由于2在模7意义下的逆元为4，因此可以将其乘以4，得到 k ≡ 2 (mod 7)。

现在，我们需要找到一个数满足这三个条件： k ≡ 2 (mod 3)，k ≡ 3 (mod 5)，k ≡ 2 (mod 7)。根据中国剩余定理，这个数可以表示为：

k ≡ a1×M1×N1 + a2×M2×N2 + a3×M3×N3 (mod M)

其中，a1=2，M1=5×7，N1是M1在模3意义下的逆元，即N1=2；a2=3，M2=3×7，N2是M2在模5意义下的逆元，即N2=3；a3=2，M3=3×5，N3是M3在模7意义下的逆元，即N3=5；M=M1×M2×M3=5×3×7=105。

将这些值代入公式，得到：

k ≡ 2×5×2 + 3×3×3 + 2×15×5 ≡ 23 (mod 105)

现在，我们可以将k代入x=2k+1，得到：

x ≡ 2×23+1 ≡ 47 (mod 210)

因此，方程组的解为 x ≡ 47 (mod 210)。

由以下方程组求x。 x ≡1mod2 x≡2mod3 x≡3mod5 x=5mod7

我们可以使用中国剩余定理来求解该方程组。首先，我们计算方程组中的N值，即 $N = 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210$。然后，我们可以计算每个方程中的 $N_i$ 值：

$N_1 = \frac{N}{2} = 105$

$N_2 = \frac{N}{3} = 70$

$N_3 = \frac{N}{5} = 42$

$N_4 = \frac{N}{7} = 30$

接下来，我们需要求出每个 $N_i$ 在模 $n_i$ 意义下的乘法逆元 $y_i$。也就是说，$y_i$ 是满足 $N_i y_i \equiv 1 \pmod{n_i}$ 的最小正整数。

$105y_1 \equiv 1 \pmod{2}$，解得 $y_1 = 1$

$70y_2 \equiv 1 \pmod{3}$，解得 $y_2 = 2$

$42y_3 \equiv 1 \pmod{5}$，解得 $y_3 = 3$

$30y_4 \equiv 1 \pmod{7}$，解得 $y_4 = 4$

现在，我们可以计算 $x$ 的值：

$x \equiv a_1 N_1 y_1 + a_2 N_2 y_2 + a_3 N_3 y_3 + a_4 N_4 y_4 \pmod{N}$

$x \equiv 1 \times 105 \times 1 + 2 \times 70 \times 2 + 3 \times 42 \times 3 + 5 \times 30 \times 4 \pmod{210}$

$x \equiv 1 + 280 + 378 + 600 \pmod{210}$

$x \equiv 259 \pmod{210}$

因此，方程组的解为 $x \equiv 259 \pmod{210}$。