206x≡114(mod 422)
时间: 2023-06-22 22:18:43 浏览: 65
根据同余方程的性质,方程两边同时乘以某个数,余数仍然相等,因此可以将方程两边同时乘以关于x的某个数,使得系数可以被化简。首先,可以将206和422分别表示为它们的质因数乘积的形式:
206 = 2 × 103
422 = 2 × 211
因此,方程可以写成:
2 × 103x ≡ 114 (mod 2 × 211)
化简系数2,得到:
103x ≡ 57 (mod 211)
下一步,可以使用扩展欧几里得算法来求解这个同余方程。扩展欧几里得算法可以求出两个整数a和b的最大公约数gcd(a,b),并且在求解过程中可以得到一组整数s和t,使得gcd(a,b) = sa + tb。
将103和211代入扩展欧几里得算法中,得到:
gcd(103, 211) = 1
1 = 2 × 103 - 1 × 211
因此,可以将1表示为103和211的线性组合,即:
1 ≡ 2 × 103 - 1 × 211 (mod 211)
将上式两边同时乘以57,得到:
57 ≡ 114 × 103 - 57 × 211 (mod 211)
因为103x ≡ 57 (mod 211),所以可以取x = 114 × 103 - 57 × 211。因此,方程的解为:
x ≡ 114 × 103 - 57 × 211 (mod 422)
相关问题
24x≡42mod30
首先,我们可以将等式化简为 8x ≡ 14 (mod 10),然后再进一步化简为 4x ≡ 7 (mod 5)。
现在,我们需要找到一个数 y,使得 4y ≡ 1 (mod 5),因为这样我们就可以将等式两边同时乘以 y,得到 x ≡ 7y (mod 5)。
我们可以试着枚举 y 的取值,发现当 y = 4 时,4y ≡ 1 (mod 5)。因此,我们可以将等式两边同时乘以 4,得到 x ≡ 28 ≡ 3 (mod 5)。
综上所述,原方程的解为 x ≡ 3 (mod 5)。
17x≡14mod(21)
首先,我们需要确定x的值。为此,我们可以使用扩展欧几里得算法来求解17和21的最大公因数以及它们的贝祖等式的系数:
```
21 = 17 × 1 + 4
17 = 4 × 4 + 1
4 = 1 × 4 + 0
```
由此可知,17和21的最大公因数为1。接下来,我们可以使用逆元的概念,即求出一个整数y,使得17y ≡ 1 mod(21)。为此,我们需要使用贝祖等式的系数来进行逆元的求解:
```
1 = 17 - 4 × 4
= 17 - 4 × (21 - 17 × 1)
= 17 × 5 - 4 × 21
```
因此,我们发现17 × 5 ≡ 1 mod(21)。现在,我们可以将x的值求出来:
```
17x ≡ 14 mod(21)
5 × 17x ≡ 5 × 14 mod(21)
85x ≡ 70 mod(21)
16x ≡ 7 mod(21)
```
现在,我们需要找到一个整数z,使得16z ≡ 1 mod(21)。通过使用扩展欧几里得算法,我们可以求出:
```
21 = 16 × 1 + 5
16 = 5 × 3 + 1
5 = 1 × 5 + 0
```
因此,16和21的最大公因数为1,且:
```
1 = 16 - 5 × 3
= 16 - (21 - 16 × 1) × 3
= 16 × 4 - 21 × 3
```
因此,我们发现16 × 4 ≡ 1 mod(21)。现在,我们可以将x的值求出来:
```
16x ≡ 7 mod(21)
4 × 16x ≡ 4 × 7 mod(21)
64x ≡ 28 mod(21)
x ≡ 7 mod(21)
```
因此,方程的解为x ≡ 7 mod(21)。
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