一球从100米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半；再落下，求它在第n次落地时，共经过多少米？第n次反弹多高？

### 回答1：
第一次落地时，球经过的距离为100米，第一次反弹的高度为50米。

第二次落地时，球经过的距离为100+50*2=200米，第二次反弹的高度为25米。

第三次落地时，球经过的距离为100+50*2+25*2=275米，第三次反弹的高度为12.5米。

以此类推，第n次落地时，球经过的距离为100+50*2+25*2+...+(100/2^(n-1))*2，第n次反弹的高度为100/2^n。

公式化表示为：经过的距离为100*(1+2+2^2+...+2^(n-1))+100/2^(n-1)，第n次反弹的高度为100/2^n。

化简得：经过的距离为100*(2^n-1)+100/2^(n-1)，第n次反弹的高度为100/2^n。

因此，在第n次落地时，球经过的距离为100*(2^n-1)+100/2^(n-1)米，第n次反弹的高度为100/2^n米。

### 回答2：
这道题属于数学中的等比数列和等差数列问题。题目告诉了我们，球自由落下的高度为100米，反弹高度为自由落下高度的一半，即50米。要求第n次落地时，共经过多少米，我们可以通过等比数列求和公式来解决。

首先推算出球在第n次落地前所经过的路程，分为两部分：自由落下和反弹的路程。这个路程可以用等差数列来表示，第一次是自由落下的100米，然后是反弹的50米，再自由落下的50米，再反弹的25米，以此类推。我们发现每次反弹高度可以看做自由落下高度的一半，也就是可以看作等比数列中的公比为1/2。那么球在第n次落地前所走过的距离就是：

S(n) = 100 + 100 × (1/2 + 1/2^2 + … + 1/2^(n-1)) + 50 × (1/2 + 1/2^2 + … + 1/2^(n-2))

这个等比数列之和就是：

S(n) = 100 + 100 × (1 – 1/2^n) + 50 × (1 – 1/2^(n-1))

化简得到：

S(n) = 100 × (2 – 1/2^n) + 50 × (1 – 1/2^(n-1))

接下来是求第n次反弹的高度。我们可以通过等比数列的通项公式来解决。

第n次反弹的高度就是球在反弹后上升的高度，也就是第n-1次反弹时下落到的高度。那么第n-1次反弹的高度就是球在此次下落中下落的距离，也就是自由落下高度的一半。这个数列的公比同样为1/2，通项公式为：

an = a1 × (1/2)^(n-1)

其中a1为第一次反弹的高度，即自由落下高度的一半，为50米。将n替换为n-1，得到第n-1次反弹的高度：

hn-1 = 50 × (1/2)^(n-2)

同理，第n次反弹的高度为：

hn = 50 × (1/2)^(n-1)

综上所述，当球第n次落地时，总共经过的距离为100 × (2 – 1/2^n) + 50 × (1 – 1/2^(n-1))，第n次反弹的高度为50 × (1/2)^(n-1)。

### 回答3：
这道题可以使用数列的方法来解决。

首先，我们可以列出每次落地和反弹的高度情况：

第1次落地：高度为100米；
第1次反弹：高度为50米；
第2次落地：高度为50米；
第2次反弹：高度为25米；
第3次落地：高度为25米；
第3次反弹：高度为12.5米；
......

由于每次落地和反弹都会经过一段距离，因此，我们可以将这段距离列为一个等比数列，公比为2，首项为100米。则在第n次落地时，共经过的距离为：

S_n = 100 + 100×(1+0.5+0.25+......+0.5^(n-1))（共经过2n-1个数，即2n-2次反弹和n次落地）

通过等比数列求和公式，可以将等比数列的和表示为：

S_n = 100 + 100×((1-0.5^n)/(1-0.5))

化简可得：S_n = 100×(2-0.5^n)

因此，在第n次落地时，共经过的距离为100×(2-0.5^n)米。

接下来，我们来求第n次反弹的高度。根据题意，每次反弹高度为上一次落地高度的一半。因此，在第n次反弹时，反弹高度为：

H_n = 100×(0.5)^(n-1)米

综上所述，第n次落地时，共经过的距离为100×(2-0.5^n)米，第n次反弹的高度为100×(0.5)^(n-1)米。