一球从100米高度自由落下,每次落地后反跳回原高度的一半;再落下,求它在第n次落地时,共经过多少米?第n次反弹多高?
时间: 2023-05-31 11:20:06 浏览: 90
### 回答1:
第一次落地时,球经过的距离为100米,第一次反弹的高度为50米。
第二次落地时,球经过的距离为100+50*2=200米,第二次反弹的高度为25米。
第三次落地时,球经过的距离为100+50*2+25*2=275米,第三次反弹的高度为12.5米。
以此类推,第n次落地时,球经过的距离为100+50*2+25*2+...+(100/2^(n-1))*2,第n次反弹的高度为100/2^n。
公式化表示为:经过的距离为100*(1+2+2^2+...+2^(n-1))+100/2^(n-1),第n次反弹的高度为100/2^n。
化简得:经过的距离为100*(2^n-1)+100/2^(n-1),第n次反弹的高度为100/2^n。
因此,在第n次落地时,球经过的距离为100*(2^n-1)+100/2^(n-1)米,第n次反弹的高度为100/2^n米。
### 回答2:
这道题属于数学中的等比数列和等差数列问题。题目告诉了我们,球自由落下的高度为100米,反弹高度为自由落下高度的一半,即50米。要求第n次落地时,共经过多少米,我们可以通过等比数列求和公式来解决。
首先推算出球在第n次落地前所经过的路程,分为两部分:自由落下和反弹的路程。这个路程可以用等差数列来表示,第一次是自由落下的100米,然后是反弹的50米,再自由落下的50米,再反弹的25米,以此类推。我们发现每次反弹高度可以看做自由落下高度的一半,也就是可以看作等比数列中的公比为1/2。那么球在第n次落地前所走过的距离就是:
S(n) = 100 + 100 × (1/2 + 1/2^2 + … + 1/2^(n-1)) + 50 × (1/2 + 1/2^2 + … + 1/2^(n-2))
这个等比数列之和就是:
S(n) = 100 + 100 × (1 – 1/2^n) + 50 × (1 – 1/2^(n-1))
化简得到:
S(n) = 100 × (2 – 1/2^n) + 50 × (1 – 1/2^(n-1))
接下来是求第n次反弹的高度。我们可以通过等比数列的通项公式来解决。
第n次反弹的高度就是球在反弹后上升的高度,也就是第n-1次反弹时下落到的高度。那么第n-1次反弹的高度就是球在此次下落中下落的距离,也就是自由落下高度的一半。这个数列的公比同样为1/2,通项公式为:
an = a1 × (1/2)^(n-1)
其中a1为第一次反弹的高度,即自由落下高度的一半,为50米。将n替换为n-1,得到第n-1次反弹的高度:
hn-1 = 50 × (1/2)^(n-2)
同理,第n次反弹的高度为:
hn = 50 × (1/2)^(n-1)
综上所述,当球第n次落地时,总共经过的距离为100 × (2 – 1/2^n) + 50 × (1 – 1/2^(n-1)),第n次反弹的高度为50 × (1/2)^(n-1)。
### 回答3:
这道题可以使用数列的方法来解决。
首先,我们可以列出每次落地和反弹的高度情况:
第1次落地:高度为100米;
第1次反弹:高度为50米;
第2次落地:高度为50米;
第2次反弹:高度为25米;
第3次落地:高度为25米;
第3次反弹:高度为12.5米;
......
由于每次落地和反弹都会经过一段距离,因此,我们可以将这段距离列为一个等比数列,公比为2,首项为100米。则在第n次落地时,共经过的距离为:
S_n = 100 + 100×(1+0.5+0.25+......+0.5^(n-1))(共经过2n-1个数,即2n-2次反弹和n次落地)
通过等比数列求和公式,可以将等比数列的和表示为:
S_n = 100 + 100×((1-0.5^n)/(1-0.5))
化简可得:S_n = 100×(2-0.5^n)
因此,在第n次落地时,共经过的距离为100×(2-0.5^n)米。
接下来,我们来求第n次反弹的高度。根据题意,每次反弹高度为上一次落地高度的一半。因此,在第n次反弹时,反弹高度为:
H_n = 100×(0.5)^(n-1)米
综上所述,第n次落地时,共经过的距离为100×(2-0.5^n)米,第n次反弹的高度为100×(0.5)^(n-1)米。