推导目标函数的对偶形式(要有过程)
时间: 2024-03-30 20:35:43 浏览: 23
推导目标函数的对偶形式涉及到拉格朗日乘数法和对偶性理论。给定原始问题:
$$\min_{x} f(x)$$
$$s.t. \;\; g_i(x) \leq 0, i=1,...,m$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; h_j(x) = 0, j=1,...,p$$
其中,$f(x)$ 为目标函数,$g_i(x)$ 和 $h_j(x)$ 分别为不等式约束和等式约束。引入拉格朗日乘数 $\alpha_i \geq 0$ 和 $\beta_j$,构造拉格朗日函数:
$$L(x,\alpha,\beta) = f(x) + \sum_{i=1}^{m} \alpha_i g_i(x) + \sum_{j=1}^{p} \beta_j h_j(x)$$
定义拉格朗日对偶函数:
$$g(\alpha,\beta) = \inf_x L(x,\alpha,\beta)$$
对于 $\forall \alpha_i \geq 0$ 和 $\forall \beta_j$,$g(\alpha,\beta)$ 都是凸函数。接下来考虑对偶问题:
$$\max_{\alpha,\beta} g(\alpha, \beta)$$
$$s.t. \;\; \alpha_i \geq 0, i=1,...,m$$
通过对拉格朗日函数的求解,可以得到 $x$ 的最优解 $x^*$ 和对偶函数的最优解 $g^*$,并且有以下关系:
$$f(x^*) \geq g^*$$
对于凸优化问题,有强对偶性定理成立,即原问题和对偶问题的最优解相等。因此,可以将对偶问题转化为原问题的等价形式。
现在我们来推导目标函数的对偶形式。首先,根据定义,拉格朗日对偶函数为:
$$g(\alpha,\beta) = \inf_x L(x,\alpha,\beta)$$
将 $L(x,\alpha,\beta)$ 代入可得:
$$g(\alpha,\beta) = \inf_x \left(f(x) + \sum_{i=1}^{m} \alpha_i g_i(x) + \sum_{j=1}^{p} \beta_j h_j(x)\right)$$
由于对于 $\forall x$,$f(x)$ 是常数,可以将其提出来,得到:
$$g(\alpha,\beta) = f(x) + \inf_x \left(\sum_{i=1}^{m} \alpha_i g_i(x) + \sum_{j=1}^{p} \beta_j h_j(x)\right)$$
这里的 $\inf_x$ 表示对 $x$ 进行极小化操作。假设 $\tilde{L}(\alpha,\beta) = \inf_x \left(\sum_{i=1}^{m} \alpha_i g_i(x) + \sum_{j=1}^{p} \beta_j h_j(x)\right)$,则可以得到:
$$g(\alpha,\beta) = f(x) + \tilde{L}(\alpha,\beta)$$
因此,对偶问题可以表示为:
$$\max_{\alpha,\beta} \left(f(x) + \tilde{L}(\alpha,\beta)\right)$$
$$s.t. \;\; \alpha_i \geq 0, i=1,...,m$$
其中,$\tilde{L}(\alpha,\beta)$ 表示对拉格朗日函数 $L(x,\alpha,\beta)$ 中不含 $f(x)$ 的部分进行极小化后的结果。这就是目标函数的对偶形式。
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