阻尼Newton法求解无约束最优化函数python代码举例

下面是使用阻尼牛顿法求解无约束最优化函数的Python代码示例：

import numpy as np

def f(x):
    return x[0]**2 + 2*x[1]**2 + 2*np.sinh(x[0])*np.sinh(x[1])

def grad_f(x):
    return np.array([2*x[0] + 2*np.cosh(x[0])*np.sinh(x[1]), 4*x[1] + 2*np.sinh(x[0])*np.cosh(x[1])])

def hess_f(x):
    return np.array([[2*np.sinh(x[0])**2 + 2*np.cosh(x[0])*np.cosh(x[1]), 2*np.sinh(x[0])*np.sinh(x[1])],
                     [2*np.sinh(x[0])*np.sinh(x[1]), 4*np.sinh(x[1])**2 + 2*np.cosh(x[0])*np.cosh(x[1])]])

def damp_newton(x0, f, grad_f, hess_f, tol=1e-6, max_iter=100):
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        g = grad_f(x)
        H = hess_f(x)
        p = -np.linalg.solve(H, g)
        if np.abs(np.dot(g, p)) < tol:
            break
        alpha = 1.0
        while f(x + alpha*p) > f(x) + 0.5*alpha*np.dot(g, p):
            alpha *= 0.5
        x = x + alpha*p
    return x

x0 = np.array([1.0, 1.0])
x_opt = damp_newton(x0, f, grad_f, hess_f)
print("Optimal solution:", x_opt)
print("Optimal value:", f(x_opt))

在上述代码中，我们首先定义了目标函数 `f` 和其梯度 `grad_f`、海森矩阵 `hess_f`。然后，我们使用 `damp_newton` 函数来实现阻尼牛顿法求解无约束最优化问题。其中， `x0` 是初始点， `tol` 是收敛条件， `max_iter` 是最大迭代次数。函数中的主要循环是通过计算梯度和海森矩阵，求解牛顿方程，然后通过线性搜索来确定步长。最后，函数返回最优解 `x_opt` 和最优值 `f(x_opt)`。