求积分:sin的5次方+sin的7次方

这是一个比较复杂的积分，需要使用一些特殊的积分技巧。

首先，我们可以使用三角恒等式将 sin 的 5 次方和 sin 的 7 次方表示为较低次数的三角函数：

sin^5 x = (1 - cos^2 x)^2 sin x = sin x - 2 sin x cos^2 x + cos^4 x sin x
sin^7 x = (1 - cos^2 x)^3 sin x = sin x - 3 sin x cos^2 x + 3 cos^4 x sin x - cos^6 x sin x

接着，我们可以将原积分拆分成两个积分：

∫(sin^5 x + sin^7 x) dx = ∫sin x dx - 2 ∫sin x cos^2 x dx + ∫cos^4 x sin x dx - 3 ∫sin x cos^2 x dx + 3 ∫cos^4 x sin x dx - ∫cos^6 x sin x dx

化简后得到：

∫(sin^5 x + sin^7 x) dx = ∫sin x dx - 5 ∫sin x cos^2 x dx + 4 ∫cos^4 x sin x dx - ∫cos^6 x sin x dx

我们可以使用分部积分法来求解这个积分。令 u = sin x，dv = dx，那么 du = cos x dx，v = x，得到：

∫sin x dx = -cos x + C1

接着，我们令 u = cos^2 x，dv = sin x dx，那么 du = -2 cos x sin x dx，v = -cos x，得到：

-5 ∫sin x cos^2 x dx = -5 ∫u du = -5 (-cos^3 x / 3) + C2

再令 u = cos^4 x，dv = sin x dx，那么 du = -4 cos^3 x sin x dx，v = -cos x，得到：

4 ∫cos^4 x sin x dx = 4 ∫u dv = 4 (-cos^5 x / 5) + C3

最后，我们令 u = cos^6 x，dv = sin x dx，那么 du = -6 cos^5 x sin x dx，v = -cos x，得到：

-∫cos^6 x sin x dx = -∫u dv = -(-cos^7 x / 7) + C4

将这些结果代入原式，得到：

∫(sin^5 x + sin^7 x) dx = -cos x + 5 cos^3 x / 3 - 4 cos^5 x / 5 + cos^7 x / 7 + C

因此，原积分的结果为 -cos x + 5 cos^3 x / 3 - 4 cos^5 x / 5 + cos^7 x / 7 + C。