复化simpson求积公式

复化Simpson求积公式是一种数值积分方法，用于计算函数在一定区间内的定积分。公式如下：

∫f(x)dx ≈ h/3 * [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 2f(xn-2) + 4f(xn-1) + f(xn)]

其中，h为步长，n为区间数，xn为第n个区间的右端点，xn-1为第n个区间的左端点，x0为整个区间的左端点。

需要注意的是，使用复化Simpson求积公式时，区间数n必须是偶数，并且步长h要足够小，才能保证计算结果的精度。

相关问题

选择等分份数,用复化Simpson求积公式求上述定积分的误差不超过的近似值,用MATLAB中的内部函数int求此定积分的准确值,与利用复化Simpson求积公式计算的近似值进行比较。

好的,我来为您解答这个问题。

使用复化Simpson求积公式计算定积分时,误差公式为:

E = - (b-a)^5 / (180n^4) * f^(4)(ξ), 其中a ≤ ξ ≤ b

要使误差不超过ε,我们可以设置:

(b-a)^5 / (180n^4) * max|f^(4)(x)| ≤ ε

解这个不等式可以得到所需的等分数n。

现在,让我们用MATLAB来实现这个过程:

% 定义被积函数
f = @(x) exp(-x.^2);

% 定义积分区间
a = 0;
b = 1;

% 设置允许误差
epsilon = 1e-6;

% 计算四阶导数的最大值
f4 = @(x) (16*x.^4 - 48*x.^2 + 12) .* exp(-x.^2);
max_f4 = fminbnd(@(x) -f4(x), a, b);
max_f4 = -max_f4;

% 计算所需的等分数
n = ceil(( (b-a)^5 * max_f4 / (180*epsilon) )^(1/4));

% 使用复化Simpson公式计算积分
h = (b-a)/(2*n);
x = a:h:b;
y = f(x);
S = h/3 * (y(1) + 2*sum(y(3:2:end-2)) + 4*sum(y(2:2:end)) + y(end));

% 使用MATLAB内部函数int计算精确值
syms x_sym
exact_value = double(int(exp(-x_sym^2), x_sym, a, b));

% 比较结果
fprintf('复化Simpson公式结果: %.10f\n', S);
fprintf('MATLAB int函数结果: %.10f\n', exact_value);
fprintf('误差: %.10f\n', abs(S - exact_value));

这段代码首先计算了所需的等分数n,然后使用复化Simpson公式计算积分,最后使用MATLAB的int函数计算精确值并进行比较。

9．试分别用复化梯形求积公式和复化Simpson求积公式计算积分l 'e*dx,其中步长h =0.125.

首先，我们需要将积分区间 [0,1] 划分成若干个小区间，步长为 h=0.125。这样，我们可以得到 8 个子区间：

x0=0.000, x1=0.125, x2=0.250, x3=0.375, x4=0.500, x5=0.625, x6=0.750, x7=0.875, x8=1.000

接下来，我们可以分别使用复化梯形求积公式和复化 Simpson 求积公式来计算积分。

### 复化梯形求积公式

复化梯形求积公式的公式如下：

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \approx \frac{h}{2}\left[f(a)+2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)+f(b)\right]
$$

其中，$h$ 为步长，$n$ 为子区间数，$x_i$ 表示区间 $[a,b]$ 上等分点的位置。

将 $f(x)=e^x$ 代入公式，我们可以得到：

$$
\int_{0}^{1} e^x \mathrm{d} x \approx \frac{0.125}{2}\left[e^0+2 \sum_{i=1}^{7} e^{x_i}+e^1\right]
$$

根据上面的公式，我们可以计算出等分点的位置以及函数值，然后代入公式计算即可。具体计算过程如下：

$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{1} e^x \mathrm{d} x & \approx \frac{0.125}{2}\left[e^0+2 \sum_{i=1}^{7} e^{x_i}+e^1\right] \\
& \approx \frac{1}{16}\left[1+2(e^{0.125}+e^{0.250}+e^{0.375}+e^{0.500}+e^{0.625}+e^{0.750}+e^{0.875})+e^1\right] \\
& \approx 1.7183
\end{aligned}
$$

因此，使用复化梯形求积公式计算得到 $\int_{0}^{1} e^x \mathrm{d} x \approx 1.7183$。

### 复化 Simpson 求积公式

复化 Simpson 求积公式的公式如下：

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \approx \frac{h}{3}\left[f(a)+4 \sum_{i=1}^{n / 2} f(x_{2 i-1})+2 \sum_{i=1}^{n / 2-1} f(x_{2 i})+f(b)\right]
$$

其中，$h$ 为步长，$n$ 为子区间数，$x_i$ 表示区间 $[a,b]$ 上等分点的位置。

将 $f(x)=e^x$ 代入公式，我们可以得到：

$$
\int_{0}^{1} e^x \mathrm{d} x \approx \frac{0.125}{3}\left[e^0+4 \sum_{i=1}^{4} e^{x_{2i-1}}+2 \sum_{i=1}^{3} e^{x_{2i}}+e^1\right]
$$

根据上面的公式，我们可以计算出等分点的位置以及函数值，然后代入公式计算即可。具体计算过程如下：

$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{1} e^x \mathrm{d} x & \approx \frac{0.125}{3}\left[e^0+4 \sum_{i=1}^{4} e^{x_{2i-1}}+2 \sum_{i=1}^{3} e^{x_{2i}}+e^1\right] \\
& \approx \frac{1}{24}\left[1+4(e^{0.125}+e^{0.375}+e^{0.625}+e^{0.875})+2(e^{0.250}+e^{0.500}+e^{0.750})+e^1\right] \\
& \approx 1.7183
\end{aligned}
$$

因此，使用复化 Simpson 求积公式计算得到 $\int_{0}^{1} e^x \mathrm{d} x \approx 1.7183$。

综上所述，使用复化梯形求积公式和复化 Simpson 求积公式计算得到积分结果相同，都为 $\int_{0}^{1} e^x \mathrm{d} x \approx 1.7183$。