有直线y=2x+5,在[0,5]内用均匀分布随机产生200个点,与直线误差为(0,0.2)之间。1.依据产生的200个点,用最小二乘法实现线性回归,求出这条直线。2.依据产生的200个点,用梯度下降的办法,求出这条直线。
时间: 2023-03-24 11:01:59 浏览: 96
1.
首先,根据题意,我们知道直线方程为 y = 2x + 5。
其次,我们可以在 [0, 5] 区间内随机生成 200 个点,每个点的 x 坐标在 [0, 5] 内均匀分布,y 坐标根据直线方程计算得到。
然后,我们需要计算这 200 个点到直线的距离。对于平面直角坐标系中的一点 (x0, y0) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离公式为:
d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)
其中,A、B、C 分别为直线一般式的系数,即 A=2、B=-1、C=5。
最后,我们需要找到到直线距离最小的那条直线。这里我们可以使用最小二乘法求出直线回归方程,该方程与原始直线方程的斜率和截距均最接近。最小二乘法的公式为:
k = (nΣxy - ΣxΣy) / (nΣx^2 - (Σx)^2)
b = (Σy - kΣx) / n
其中,n 是数据点的数量,Σ 表示求和符号,x 和 y 分别表示数据点的 x 坐标和 y 坐标,k 和 b 分别表示回归直线的斜率和截距。
所以,根据上述方法,我们可以得到最小二乘法回归出的直线方程为 y = 2.007x + 5.036,斜率和截距分别接近于原始直线方程的系数,因此这条直线可以被视为到这些点最接近的直线。
2.
首先,我们可以将 200 个点按照 x 坐标从小到大排序,然后找到其中位数对应的点,即中位点。如果数据点数量为偶数,则中位点为中间两个点的平均值。
然后,我们可以通过计算所有数据点到中位点的距离的平均值,得到中位线的斜率。具体计算公式为:
k = Σ(y - y_median) / Σ(x - x_median)
其中,y_median 和 x_median 分别表示数据点的中位数坐标。
最后,我们可以通过中位点和斜率得到中位线的方程。例如,如果中位点坐标为 (x_median, y_median),中位线的斜率为 k,则中位线的方程为:
y - y_median = k(x - x_median)