定义Point<T> get_low()函数来获得所有顶点坐标的下界。Point<T> get_high()函数来获得所有顶点坐标的上界。这两个点可以唯一组成一个多面体的最小包围盒。在Polyhedron类以及Facet类中各自定义一个T area()函数来返回一个多面体或者面片的表面积。T是模板定义的类型。Polyhedron的表面积就是他所有面片的面积之和。一个面片可能是个三角形，也可能包含多于三个顶点。为了简单起见，我们假设所有的面片都是凸多边形。在计算凸多边形的表面积的时候我们可以简单的将其进行三角化。假设一个Facet有N条边，每个顶点坐标为vertices[0], vertices[1]…vertices[N-1]。那这个多边形可以被三角化为N-2个三角形，分别是{vertices[0], vertices[1], vertices[2]}, {vertices[0], vertices[2], vertices[3]}、、、、{vertices[0], vertices[N-2], vertices[N-1]}

以下是定义 Point<T> get_low() 函数和 Point<T> get_high() 函数的示例代码：

template <typename T>
Point<T> Polyhedron<T>::get_low() const {
    T x = std::numeric_limits<T>::max();
    T y = std::numeric_limits<T>::max();
    T z = std::numeric_limits<T>::max();
    for (int i = 0; i < vertices.size(); i++) {
        x = std::min(x, vertices[i]->x);
        y = std::min(y, vertices[i]->y);
        z = std::min(z, vertices[i]->z);
    }
    return Point<T>(x, y, z);
}

template <typename T>
Point<T> Polyhedron<T>::get_high() const {
    T x = std::numeric_limits<T>::lowest();
    T y = std::numeric_limits<T>::lowest();
    T z = std::numeric_limits<T>::lowest();
    for (int i = 0; i < vertices.size(); i++) {
        x = std::max(x, vertices[i]->x);
        y = std::max(y, vertices[i]->y);
        z = std::max(z, vertices[i]->z);
    }
    return Point<T>(x, y, z);
}

这里我们使用了 std::numeric_limits<T>::max() 和 std::numeric_limits<T>::lowest() 函数来获取 T 类型的最大值和最小值。在循环中，我们使用 std::min() 和 std::max() 函数来更新每个坐标轴的最小值和最大值。最后，我们返回一个 Point 对象。

以下是定义 T area() 函数的示例代码：

template <typename T>
T Polyhedron<T>::area() const {
    T sum = 0;
    for (int i = 0; i < facets.size(); i++) {
        const Facet<T>& facet = *facets[i];
        const Point<T>& p0 = *facet.vertices[0];
        for (int j = 1; j < facet.vertices.size() - 1; j++) {
            const Point<T>& p1 = *facet.vertices[j];
            const Point<T>& p2 = *facet.vertices[j + 1];
            sum += triangle_area(p0, p1, p2);
        }
    }
    return sum;
}

template <typename T>
T Facet<T>::area() const {
    T sum = 0;
    const Point<T>& p0 = *vertices[0];
    for (int j = 1; j < vertices.size() - 1; j++) {
        const Point<T>& p1 = *vertices[j];
        const Point<T>& p2 = *vertices[j + 1];
        sum += triangle_area(p0, p1, p2);
    }
    return sum;
}

template <typename T>
T triangle_area(const Point<T>& p0, const Point<T>& p1, const Point<T>& p2) {
    Point<T> v1 = p1 - p0;
    Point<T> v2 = p2 - p0;
    return v1.cross(v2).norm() / 2;
}

在计算 Polyhedron 的表面积时，我们遍历每个 Facet，并将它们的面积相加。对于每个 Facet，我们使用 Facet::area() 函数来计算它的面积。这个函数将 Facet 的顶点分成 N-2 个三角形，并使用三角形面积公式计算每个三角形的面积，最后将它们相加。在计算 Facet 的表面积时，我们也使用了同样的方法。triangle_area() 函数用来计算三角形面积。