s=x^0/0!-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+⋯ 求s的值

根据泰勒展开式，$e^x$ 的泰勒展开式为：

$$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
$$

将 $x$ 替换为 $-x^2$，得到：

$$
e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}
$$

对上式中的指数 $2n$ 进行奇偶性分类，得到：

$$
\begin{aligned}
e^{-x^2} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2n} x^{4n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2n+1} x^{4n+2}}{(2n+1)!} \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n}}{(2n)!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}
\end{aligned}
$$

将上式中的第一个求和式减去 $1$，得到：

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n}}{(2n)!} = e^{-x^2} - 1 + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}
$$

将上式中的求和式子展开，得到：

$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n}}{(2n)!} &= e^{-x^2} - 1 + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!} \\
&= e^{-x^2} - 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!} + \frac{x^2}{1!} \\
&= e^{-x^2} - 1 + \frac{x^2}{1!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!} \\
\end{aligned}
$$

将上式中的第一项展开，得到：

$$
\begin{aligned}
e^{-x^2} - 1 &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} \\
&= -\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
\end{aligned}
$$

将上式代入前面的式子中，得到：

$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n}}{(2n)!} &= e^{-x^2} - 1 + \frac{x^2}{1!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!} \\
&= -\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + \frac{x^2}{1!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!} \\
&= \frac{x^2}{1!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}
\end{aligned}
$$

因此，$s = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \cdots - \frac{x^2}{1!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}$.