简单迭代法matlab例题程序

以下是一个简单的 Matlab 迭代法例子程序，用于求解方程组 Ax=b，其中 A 是系数矩阵，b 是常数向量。

% 设定参数
A = [4 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 4];
b = [15; 10; 10];
x0 = [0; 0; 0]; % 初始解
tol = 1e-6; % 容忍误差
maxiter = 100; % 最大迭代次数

% 迭代过程
x = x0;
for iter = 1:maxiter
    x_new = zeros(size(x));
    for i = 1:length(b)
        x_new(i) = (b(i) - A(i,[1:i-1,i+1:end]) * x([1:i-1,i+1:end])) / A(i,i);
    end
    if norm(x_new - x) < tol
        break;
    end
    x = x_new;
end

% 结果输出
disp(['迭代次数: ', num2str(iter)]);
disp(['方程组的解: ']);
disp(x_new);

该程序使用了 Jacobi 迭代法来求解方程组 Ax=b，其中 x 表示未知向量。具体来说，Jacobi 迭代法将系数矩阵 A 分解为 A=D-L-U，其中 D 是 A 的对角线矩阵，L 是 A 的下三角矩阵，U 是 A 的上三角矩阵。然后迭代过程中，每次更新解向量的第 i 个分量时，只使用未知向量的前 i-1 和后 i+1 分量，而不使用当前迭代步中的解向量的第 i 个分量。具体来说，迭代公式为

$$
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}(b_i - \sum_{j \neq i} a_{ij} x_j^{(k)}), \quad i=1,2,\ldots,n.
$$

其中 k 表示迭代步数。由于每次迭代只需要用到上一步的解向量，因此 Jacobi 迭代法可以大大降低计算量，适用于大规模稀疏矩阵的求解。