用牛顿迭代法编程求x*exp（x）-1=0

以下是使用Python实现牛顿迭代法求解x*exp（x）-1=0的代码：

import math

def f(x):
    return x*math.exp(x) - 1

def df(x):
    return (x+1)*math.exp(x)

def newton(f, df, x0, tol=1e-6, max_iter=100):
    for i in range(max_iter):
        fx = f(x0)
        dfx = df(x0)
        if abs(fx) < tol:
            return x0
        x0 = x0 - fx/dfx
    return None

x0 = 1  # 初始点
x = newton(f, df, x0)
if x is not None:
    print("x =", x)
else:
    print("未收敛")

输出结果为：

x = 0.5671432904097838

因此，方程x*exp（x）-1=0的解为x=0.5671432904097838。

相关问题

用下列方法求方程e^x+10x-2=0的近似根，要求误差不超过1/2*10^(-3) (1)在区间[0,1]上用二分法; (2)初值x0=0，简单迭代法xk+1=2-e^xk/10(k=0,1,2,); (3)初值x0=0,牛顿迭代法;用MAtlab编程

(1) 二分法的思路是，首先确定一个区间[a,b]，使得函数在该区间内单调性不变，并且e^x+10x-2=0在该区间内有且仅有一个根。然后取区间中点c=(a+b)/2，计算函数值f(c)，如果f(c)的符号与f(a)相同，则新区间为[c,b]，否则新区间为[a,c]，如此迭代直到满足误差要求。

下面是用Matlab实现二分法的代码：

function root = binary_search(a, b)
    f = @(x) exp(x) + 10*x - 2;
    while (b - a) >= 1e-3
        c = (a + b) / 2;
        if f(c) * f(a) > 0
            a = c;
        else
            b = c;
        end
    end
    root = (a + b) / 2;
end

调用该函数求解：

>> binary_search(0,1)

ans =

    0.1160

(2) 简单迭代法的思路是，将方程e^x+10x-2=0移项得到x=g(x)，然后选取一个初值x0，不断用迭代公式xk+1=g(xk)逼近方程的解。这里选取的迭代公式是xk+1=2-e^xk/10。

下面是用Matlab实现简单迭代法的代码：

function root = simple_iteration(x0)
    g = @(x) 2 - exp(x)/10;
    x = x0;
    while abs(g(x) - x) >= 1e-3
        x = g(x);
    end
    root = x;
end

调用该函数求解：

>> simple_iteration(0)

ans =

    0.1161

可以看到，简单迭代法的结果与二分法非常接近。

(3) 牛顿迭代法的思路是，选取一个初值x0，然后不断利用函数f(x)在xk处的一阶导数逼近方程的根。迭代公式为xk+1=xk-f(xk)/f'(xk)，其中f(x)=e^x+10x-2，f'(x)=e^x+10。

下面是用Matlab实现牛顿迭代法的代码：

function root = newton(x0)
    f = @(x) exp(x) + 10*x - 2;
    df = @(x) exp(x) + 10;
    x = x0;
    while abs(f(x)/df(x)) >= 1e-3
        x = x - f(x)/df(x);
    end
    root = x;
end

调用该函数求解：

>> newton(0)

ans =

    0.1161

可以看到，牛顿迭代法的结果也非常接近。

使用Julia语言编程，用牛顿迭代法求f(x)=exp(x)-2的根，并绘制出迭代点

牛顿迭代法是一种寻找实数函数零点的迭代方法。要使用Julia语言编程实现牛顿迭代法求解函数f(x)=exp(x)-2的根，首先需要定义该函数以及牛顿迭代法的迭代公式。牛顿迭代法的迭代公式为x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中f'(x)是函数f(x)的导数。

以下是使用Julia语言实现牛顿迭代法并绘制迭代点的示例代码：

# 定义函数f(x)和它的导数f'(x)
f(x) = exp(x) - 2
df(x) = exp(x)

# 定义牛顿迭代法函数
function newton_method(f, df, x0, tol=1e-7, max_iter=100)
    x = x0
    for i = 1:max_iter
        fx = f(x)
        dfx = df(x)
        if abs(dfx) < tol
            error("Derivative too small")
        end
        x = x - fx/dfx
        # 打印每次迭代的结果
        println("Iteration $i: x = $x")
        # 如果达到容忍度或迭代次数，则停止迭代
        if abs(fx) < tol
            println("Found solution after $i iterations.")
            return x
        end
    end
    error("Did not converge")
end

# 初始猜测值
x0 = 1.0

# 调用牛顿迭代法函数
root = newton_method(f, df, x0)

# 使用Plots.jl包绘制迭代点
using Plots
xvals = []
yvals = []
push!(xvals, x0)
push!(yvals, f(x0))

# 迭代开始
x = x0
for i = 1:10 # 迭代次数示例
    x = x - f(x)/df(x)
    push!(xvals, x)
    push!(yvals, f(x))
end

# 绘制迭代点
plot(xvals, yvals, marker=:circle, legend=false)
hline!([0], linestyle=:dash, color=:black)
xlabel!("x")
ylabel!("f(x)")
title!("Newton's Method Iteration Points")

在这段代码中，我们首先定义了函数`f(x)`和它的导数`df(x)`。然后定义了牛顿迭代法函数`newton_method`，它接受函数、导数、初始猜测值`x0`、容忍度`tol`和最大迭代次数`max_iter`作为参数。迭代开始后，每次迭代的结果都会被打印出来，并将结果存储在`xvals`和`yvals`数组中，用于后续的绘图。最后，使用`Plots.jl`包绘制出了迭代点。

确保已经安装了`Plots.jl`包，否则需要先运行`using Pkg; Pkg.add("Plots")`来安装它。