B样条曲线第i段曲线的控制多边形的三个顶点为P0（0，50）、P1（100，150）、P2（200，0），求一条2次多项式B样条曲线来拟合这三个点（参数t分别取0、1/2、1）

B样条曲线的控制顶点可以表示为：
$$
P_i = (x_i, y_i), \quad i=0,1,2
$$

对于2次B样条曲线，它的表达式为：
$$
C(t) = (1-t)^2 P_0 + 2t(1-t)P_1 + t^2 P_2
$$

将给定的控制顶点代入上式，可以得到：
$$
C(t) = (1-t)^2 (0,50) + 2t(1-t)(100,150) + t^2 (200,0)
$$

化简后得到：
$$
C(t) = (100t^2 - 100t + 50, -100t^2 + 200t + 50)
$$

当$t=0$时，$C(0)=(50,50)$；当$t=1/2$时，$C(1/2)=(75,100)$；当$t=1$时，$C(1)=(150,50)$。

因此，2次B样条曲线可以表示为：
$$
C(t) = (100t^2 - 100t + 50, -100t^2 + 200t + 50), \quad t \in [0,1]
$$

相关问题

三次b样条曲线matlab 多个控制点 不使用spline函数

三次B样条曲线可以通过以下步骤在MATLAB中实现：

1. 定义控制多边形：使用多个控制点来定义曲线的形状，将这些点储存在一个矩阵中。

2. 计算节点向量：节点向量确定曲线的形状和弯曲程度。可以使用等距节点或非等距节点。在这里我们使用非等距节点。

3. 计算基函数：B样条曲线的形状由基函数决定。使用递归方法计算基函数。

4. 计算曲线：通过将基函数与控制点相乘，然后将它们相加，可以计算出曲线上的点。

以下是MATLAB代码实现：

% 定义控制多边形
P = [0 0; 1 3; 3 5; 5 2; 7 7; 9 3; 10 1];

% 节点向量
t = [0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6];

% 计算基函数
n = length(t) - 4; % 基函数的个数
B = zeros(n, length(t)); % 定义基函数矩阵
for i = 1:n
    B(i,:) = bspline_basis(i, 4, t);
end

% 计算曲线上的点
tq = linspace(t(1), t(end), 100); % 插值节点
Bq = zeros(n, length(tq)); % 对应的基函数
for i = 1:n
    Bq(i,:) = bspline_basis(i, 4, tq);
end
Q = P * B' * inv(B * B'); % 曲线上的点
Qq = Q * Bq' * inv(Bq * Bq'); % 插值点

% 绘制曲线
plot(Q(:,1), Q(:,2), 'o-', Qq(:,1), Qq(:,2), 'r--', P(:,1), P(:,2), 'ko');
legend('曲线', '插值', '控制多边形');

其中，bspline_basis是一个递归函数，用于计算B样条曲线的基函数。

C语言编写绘制三次 B 样条曲线的通用程序，可以通过鼠标指定控制多边形的顶点。

很高兴为您提供帮助！以下是通用程序的代码：

代码：

#include <graphics.h>
#include <stdio.h>

#define MAX_POINTS 20
#define BEZIER_STEPS 1000

typedef struct point_t {
int x;
int y;
} point_t;

// 三次 B 样条曲线的通用程序
void draw_bezier(point_t* points, int num_points) {
int i, j;
double step = 1.0 / BEZIER_STEPS;
double t = 0.0;

for (i = 0; i < BEZIER_STEPS; i++) {
// 计算此时的参数 t 对应的曲线上的点坐标
double x = 0, y = 0;
for (j = 0; j < num_points; j++) {
double b = 1;
int k;
for (k = 0; k < num_points; k++) {
if (j == k) continue;
b *= (t - (double)k / (num_points - 1)) /
((double)j / (num_points - 1) - (double)k / (num_points - 1));
}

x += b * points[j].x;
y += b * points[j].y;
}

// 画出这条曲线
putpixel((int)x, (int)y, WHITE);
t += step;
}
}

int main(void) {
int gd = DETECT, gm;
initgraph(&gd, &gm, "");

point_t points[MAX_POINTS] = {0};
int num_points = 0;

// 鼠标指定控制多边形的顶点
while (num_points < MAX_POINTS) {
if (ismouseclick(WM_LBUTTONDOWN)) {
POINT mouse_pos;
getmouseclick(WM_LBUTTONDOWN, mouse_pos.x, mouse_pos.y);
points[num_points].x = mouse_pos.x;
points[num_points].y = mouse_pos.y;
num_points++;

if (num_points > 1) {
// 画出已经选择的点之间的线段
line(points[num_points - 2].x, points[num_points - 2].y, points[num_points - 1].x, points[num_points - 1].y);
}
}

if (ismouseclick(WM_RBUTTONUP)) {
cleardevice();
num_points = 0;
}
}

draw_bezier(points, num_points);

getch();
closegraph();

return 0;
}