最长公共子系列动态规划

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是指在两个序列中同时出现的、且相对顺序保持一致的最长子序列。这里的子序列指的是不需要连续的子序列。

LCS问题可以使用动态规划算法来解决，具体思路如下：

1. 确定状态：设 $dp[i][j]$ 表示序列 $A$ 的前 $i$ 个元素和序列 $B$ 的前 $j$ 个元素的 LCS 长度。

2. 初始化状态：当 $i=0$ 或 $j=0$ 时，$dp[i][j]=0$。

3. 状态转移：当 $A[i]=B[j]$ 时，$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1$；否则，$dp[i][j]=\max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])$。

4. 最终结果：$dp[m][n]$ 即为序列 $A$ 和序列 $B$ 的 LCS 长度。

其中，$m$ 和 $n$ 分别表示序列 $A$ 和序列 $B$ 的长度。

除此之外，我们还可以通过记录转移路径来还原出 LCS 具体内容。具体做法可以参考这篇文章：https://www.cnblogs.com/-Ackerman/p/12101135.html

相关问题

c语言最长公共子系列动态规划

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称 LCS）是指两个字符串中的最长公共子序列的长度。而最长公共子序列动态规划算法可以用来解决这个问题。

假设有两个字符串 S1 和 S2，它们的长度分别为 m 和 n。定义一个二维数组 dp[m+1][n+1]，其中 dp[i][j] 表示 S1 中前 i 个字符和 S2 中前 j 个字符的最长公共子序列的长度。

那么，如果 S1 的第 i 个字符和 S2 的第 j 个字符相同，那么 dp[i][j] 就等于 dp[i-1][j-1] 加上 1；否则，dp[i][j] 就等于 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 中的较大值。

最终，dp[m][n] 就是 S1 和 S2 的最长公共子序列的长度。

下面是 C 语言的代码实现：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int longest_common_subsequence(char *s1, char *s2) {
    int m = strlen(s1);
    int n = strlen(s2);
    int dp[m+1][n+1];
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (s1[i-1] == s2[j-1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}

int main() {
    char s1[] = "ABCD";
    char s2[] = "BD";
    int len = longest_common_subsequence(s1, s2);
    printf("%d\n", len); // output: 2
    return 0;
}

动态规划算法解决组合问题中的最长公共子系列的反思

动态规划算法是解决最长公共子序列问题的常用方法之一。该算法的思想是将问题划分为若干个子问题，并利用已经求解出来的子问题的结果来求解更大规模的问题。

在动态规划算法中，我们首先定义状态，即定义问题的子问题以及对应的状态。对于最长公共子序列问题，状态可以定义为：对于两个字符串X和Y，分别考虑它们前i个字符和前j个字符的最长公共子序列长度，用c[i][j]表示。

接下来，我们需要考虑如何求解状态转移方程。对于最长公共子序列问题，状态转移方程可以定义为：

c[i][j] = 0 if i=0 or j=0
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1 if X[i-1]=Y[j-1]
c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1]) if X[i-1]!=Y[j-1]

该状态转移方程的含义是：当X[i-1]=Y[j-1]时，最长公共子序列长度可以在X的前i-1个字符和Y的前j-1个字符的最长公共子序列长度的基础上加上X的第i个字符（或Y的第j个字符），即c[i][j]=c[i-1][j-1]+1；当X[i-1]!=Y[j-1]时，最长公共子序列长度要么在X的前i-1个字符和Y的前j个字符的最长公共子序列长度中，要么在X的前i个字符和Y的前j-1个字符的最长公共子序列长度中，即c[i][j]=max(c[i-1][j], c[i][j-1])。

最后，我们需要考虑如何输出结果。对于最长公共子序列问题，我们可以从c[m][n]开始，根据状态转移方程逆推得到最长公共子序列。

总的来说，动态规划算法是一种非常高效的解决最长公共子序列问题的方法。但是，在实际应用中，我们需要注意状态的定义和状态转移方程的求解，同时需要注意空间复杂度的问题。