给出sigmoid函数的求导

sigmoid函数的公式为：

$$
\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}
$$

对其求导得到：

$$
\begin{aligned}
\frac{d\sigma(x)}{dx} &= \frac{d}{dx} \frac{1}{1 + e^{-x}} \\
&= \frac{d}{dx} (1 + e^{-x})^{-1} \\
&= -(1 + e^{-x})^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(1 + e^{-x}) \\
&= -(1 + e^{-x})^{-2} \cdot (-e^{-x}) \\
&= \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^{2}} \\
&= \frac{1}{1 + e^{-x}} \cdot \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} \\
&= \sigma(x) \cdot (1 - \sigma(x))
\end{aligned}
$$

因此，sigmoid函数的导数为：

$$
\frac{d\sigma(x)}{dx} = \sigma(x) \cdot (1 - \sigma(x))
$$