(b+2)^2/a+(a+2)^2/b的最小值
时间: 2023-06-24 21:05:56 浏览: 26
根据均值不等式,对于任意正实数 $x$ 和 $y$,有
$$
\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b} \geq \frac{(x+y)^2}{a+b}.
$$
因此,将 $x = b+2$,$y = a+2$ 代入上式可得
$$
\frac{(b+2)^2}{a}+\frac{(a+2)^2}{b} \geq \frac{(a+b+4)^2}{a+b}.
$$
注意到上式右侧的分子为二次函数 $f(x) = x^2 + 8x + 16$,开口朝上,因此当 $a+b$ 取最小值 $4$ 时,分式取最小值。此时
$$
\frac{(b+2)^2}{a}+\frac{(a+2)^2}{b} \geq \frac{(a+b+4)^2}{a+b} = 100.
$$
因此,$\dfrac{(b+2)^2}{a}+\dfrac{(a+2)^2}{b}$ 的最小值为 $100$,当且仅当 $a=b=2$ 时取到。
相关问题
a>0,b>0时,求(b+2)^2/a+(a+2)^2/b的最小值
首先,我们可以对于给定的式子进行展开:
(b+2)^2/a + (a+2)^2/b = b^2/a + 4b/a + 4 + a^2/b + 4a/b + 4
接下来,我们可以将式子中的两个分式合并,并且利用均值不等式(AM-GM inequality)求解最小值。
(b^2/a + a^2/b)/2 >= sqrt(b^2/a * a^2/b) = 2
因此,b^2/a + a^2/b >= 4
同时,我们可以观察到,当 b/a = 2,a/b = 1/2 时,上述不等式取到等号。
因此,当 b/a = 2,a/b = 1/2 时,原式的最小值为:
b^2/a + a^2/b + 8 = 2b^2/a + 2a^2/b + 4 + 4b/a + 4a/b
= (b/a + a/b)(2b/a + 2a/b) + 4(b/a + a/b) + 4
= 10 + 4 * (b/a + a/b)
因此,最小值为 18。当且仅当 b/a = 2,a/b = 1/2 时,原式取得最小值。
已知a>0,b>0求(b+2)^2/a+(a+2)^2/b的最小值
根据柯西不等式,有:
$$(b+2)^2/a+(a+2)^2/b\geq [(b+2)\sqrt{2}+2\sqrt{a}]^2/(a+b)+[(a+2)\sqrt{2}+2\sqrt{b}]^2/(a+b)$$
$$=[(b+2)\sqrt{2}+2\sqrt{a}]^2+[(a+2)\sqrt{2}+2\sqrt{b}]^2)/(a+b)$$
$$=a+b+4+2\sqrt{2}(a+b+4)$$
因此,当$a+b=4/\sqrt{2}$时,取等号,最小值为$4+8\sqrt{2}$。
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