M代码验证二维傅立叶变换的平移性

下面是使用 MATLAB 验证二维傅立叶变换的平移性的代码：

% 定义一个 5x5 的二维方阵
f = [1 2 3 4 5; 6 7 8 9 10; 11 12 13 14 15; 16 17 18 19 20; 21 22 23 24 25];

% 计算二维傅立叶变换及其频率域
F = fft2(f);
F_shifted = fftshift(F);

% 将 f 向右平移 2 个像素，即在矩阵上加上一个横向位移为 2 的 delta
delta = 2;
f_shifted = circshift(f, [0 delta]);

% 计算平移后的傅立叶变换及其频率域
F_shifted2 = fft2(f_shifted);
F_shifted2_shifted = fftshift(F_shifted2);

% 比较平移前后的傅立叶变换及其频率域是否相同
isequal(F_shifted, F_shifted2_shifted)

运行结果应该为 `1`，即表示平移前后的傅立叶变换及其频率域相同，验证了二维傅立叶变换的平移性。

相关问题

怎么用M代码验证二维傅立叶变换的平移性

二维傅立叶变换的平移性可以用M代码进行验证，具体步骤如下：

1. 定义一个二维函数，例如一个二维高斯函数：

sigma = 1;
[x, y] = meshgrid(-5:0.1:5, -5:0.1:5);
f = exp(-(x.^2+y.^2)/(2*sigma^2));

2. 对该函数进行二维傅立叶变换：

F = fft2(f);

3. 对变换后的结果进行平移操作，例如向右平移3个单位：

F_shifted = fftshift(F);
F_shifted_right = circshift(F_shifted, [0, 3]);
F_right = ifftshift(F_shifted_right);

4. 对平移后的结果进行反变换，得到平移后的函数：

f_right = ifft2(F_right);

5. 对原始函数进行平移操作，例如向右平移3个单位：

f_shifted_right = circshift(f, [0, 3]);

6. 对比平移后的函数和变换后再平移回来的函数是否相同：

max(abs(f_right(:)-f_shifted_right(:)))  % 应为 0

如果结果为0，则说明验证成功，二维傅立叶变换具有平移性。

1. 编写 M 程序文件验证二维傅立叶变换的平移性、旋转性

二维傅立叶变换的平移性和旋转性可以通过编写 M 程序文件进行验证。下面是一个简单的示例代码，用于演示如何验证平移性和旋转性。

% 生成一个测试图像
I = imread('cameraman.tif');
I = imresize(I, [256 256]);

% 计算图像的二维傅立叶变换
F = fft2(I);

% 验证平移性
dx = 10; dy = 20;
F_shifted = fftshift(F);
F_shifted = F_shifted .* exp(-1i*2*pi*(dx/size(F,2)*(0:size(F,2)-1) + dy/size(F,1)*(0:size(F,1)-1)));
F_shifted = ifftshift(F_shifted);
I_shifted = ifft2(F_shifted);
figure, imshowpair(I, I_shifted, 'montage');

% 验证旋转性
theta = 30;
F_rotated = F .* exp(-1i*2*pi*(0:size(F,1)-1)'/(2*size(F,1))*floor(size(F,1)/2) * (0:size(F,2)-1) /(2*size(F,2)) * floor(size(F,2)/2));
F_rotated = F_rotated .* exp(-1i*2*pi*(0:size(F,1)-1)'/(2*size(F,1))*floor(size(F,1)/2) * (0:size(F,2)-1) /(2*size(F,2)) * floor(size(F,2)/2) * exp(-1i*theta*pi/180));
F_rotated = F_rotated .* exp(-1i*2*pi*(0:size(F,1)-1)'/(2*size(F,1))*floor(size(F,1)/2) * (0:size(F,2)-1) /(2*size(F,2)) * floor(size(F,2)/2))';
I_rotated = ifft2(F_rotated);
figure, imshowpair(I, I_rotated, 'montage');

在上面的代码中，我们首先生成了一个测试图像 `I`，然后计算了它的二维傅立叶变换 `F`。接着，我们分别验证了平移性和旋转性：

- 平移性：我们将傅立叶变换 `F` 进行平移，并根据平移量调整相位。然后，我们将平移后的傅立叶变换 `F_shifted` 进行反变换，得到平移后的图像 `I_shifted`。最后，我们用 `imshowpair` 函数将原始图像 `I` 和平移后的图像 `I_shifted` 进行比较，以验证平移性。

- 旋转性：我们将傅立叶变换 `F` 进行旋转，并根据旋转角度调整相位。然后，我们将旋转后的傅立叶变换 `F_rotated` 进行反变换，得到旋转后的图像 `I_rotated`。最后，我们用 `imshowpair` 函数将原始图像 `I` 和旋转后的图像 `I_rotated` 进行比较，以验证旋转性。

运行上面的代码，我们可以得到两幅图像，一幅显示了平移后的图像 `I_shifted`，另一幅显示了旋转后的图像 `I_rotated`。将这两幅图像与原始图像 `I` 进行比较，可以验证二维傅立叶变换的平移性和旋转性。