∀xF(x)→∃yG(y) 与 ∀x∃y(F(x)→G(y))是否等值
时间: 2023-10-23 08:09:06 浏览: 98
这两个命题不等值。
首先,对于前者,对于任何一个x使得F(x)成立,那么根据蕴含的定义,F(x)→∃yG(y)也必定成立。因此,我们可以得出结论:如果存在一个x使得F(x)成立,那么∃yG(y)也必定成立。也就是说,前者的真值只与是否存在一个满足F(x)的x有关。
而对于后者,我们可以发现,对于任何一个x,如果F(x)成立,那么根据蕴含的定义,F(x)→G(y)也必定成立,其中y可以是任何一个使得G(y)成立的值。因此,我们可以得出结论:如果存在一个x使得F(x)成立,那么∃y(F(x)→G(y))也必定成立。也就是说,后者的真值不仅与是否存在一个满足F(x)的x有关,还与是否存在一个y使得G(y)成立有关。
因此,这两个命题不等值。
相关问题
∃xF(x)→∃yG(y) 与 ∀x∃y(F(x)→G(y))是否等值
这两个命题不等值。
对于第一个命题,如果存在一个满足F(x)的x,那么根据蕴含的性质,必然存在一个满足G(y)的y。因此,第一个命题成立。
但对于第二个命题,它的意思是对于任意的x,都存在一个y,使得如果F(x)成立,则G(y)也成立。这并不意味着存在一个y,使得对于所有的x,如果F(x)成立,则G(y)也成立。因此,第二个命题不成立。
∃xG(x)∧¬∀xF(x,y)→∀xF(x,y) 与 ∀x(¬G(x)∨F(x,y))是否等值
两个逻辑表达式不等值。
第一个逻辑表达式的意思是:存在某个x是G(x),且不存在任何x使得F(x,y)都成立,那么对于任何x,F(x,y)都成立。
第二个逻辑表达式的意思是:对于任何x,要么¬G(x)成立,要么F(x,y)成立。
可以构造一个反例来证明它们不等值。假设有两个元素a和b,其中a是G(a),而F(b,y)成立。那么第一个逻辑表达式中的存在量词可以选择a,因为G(a)成立,而对于任何x,F(x,y)都不成立,所以第一个逻辑表达式成立。但是对于第二个逻辑表达式,存在a使得G(a)成立,因此¬G(a)不成立,但是对于b,F(b,y)成立,因此F(a,y)不成立,所以第二个逻辑表达式不成立。因此,两个逻辑表达式不等值。
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