6个节点的牛顿-柯特斯公式代数精度是

使用6个节点的牛顿-柯特斯公式计算定积分的公式形如：

$$
\int_a^b f(x)dx \approx \frac{3h}{10}\left[f(x_0)+5f(x_1)+f(x_2)+6f(x_3)+f(x_4)+5f(x_5)+f(x_6)\right]
$$

其中，$h=\frac{b-a}{6}$，$x_i=a+ih$，$i=0,1,\ldots,6$，是区间 $[a,b]$ 上的节点。

使用6个节点的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 $2n+1=2\times 6+1=13$，即它可以精确计算12次以下的多项式函数的定积分。这个结论可以通过插值多项式的理论进行证明，具体可参考数值分析的相关教材。

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1个节点的牛顿-柯特斯公式代数精度是

使用1个节点的牛顿-柯特斯公式计算定积分的公式形如 $\int_a^b f(x)dx \approx w_0 f(x_0)$，其中 $x_0$ 是区间 $[a,b]$ 上的一个节点，$w_0$ 是权重系数。容易发现，该公式的代数精度为 $2n+1=3$，即它可以精确计算一次多项式的定积分。因此，1个节点的牛顿-柯特斯公式的代数精度为3。

5个节点的牛顿-柯特斯公式代数精度是

使用5个节点的牛顿-柯特斯公式计算定积分，可以将区间 $[a,b]$ 平均分成4个子区间，每个子区间上使用4个节点的牛顿-柯特斯公式。因此，整个定积分的计算公式可以写成：

$$
\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{90}(7f(a)+32f(a+h)+12f(a+2h)+32f(a+3h)+7f(b))
$$

其中 $h=\frac{b-a}{4}$ 是子区间的步长，$f(a),f(a+h),f(a+2h),f(a+3h),f(b)$ 是区间端点和中间节点的函数值，系数 $7,32,12,32,7$ 是权重系数。这个公式的代数精度为 $2n+1=11$，即它可以精确计算一个十次多项式的定积分。

牛顿-柯特斯公式的代数精度公式为 $2n+1$，其中 $n$ 表示使用的节点数。因此，5个节点的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 $2\times 5+1=11$。