n个节点的牛顿-柯特斯公式代数精度

$n$ 个节点的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 $2n+1$。这个结论可以通过数学归纳法证明。

首先考虑 $n=1$ 的情况，即使用一个节点的牛顿-柯特斯公式计算定积分。这时，公式形如 $\int_a^b f(x)dx \approx w_0 f(x_0)$，其中 $x_0$ 是区间 $[a,b]$ 上的一个节点，$w_0$ 是权重系数。容易发现，该公式的精度为 $2n+1=3$，即它可以精确计算一次多项式的定积分。

假设对于 $n=k-1$，$k\geq 2$，个节点的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 $2k-1$。现在考虑 $n=k$ 的情况。使用 $k$ 个节点的牛顿-柯特斯公式计算 $\int_a^b f(x)dx$，可以将区间 $[a,b]$ 平均分成 $k$ 个子区间，每个子区间上使用 $k-1$ 个节点的牛顿-柯特斯公式。因此，整个定积分的计算公式可以写成

$$
\int_a^b f(x)dx \approx \sum_{i=0}^{k-1} w_i \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)dx
$$

其中 $x_0=a, x_k=b$，$w_i$ 是权重系数。根据归纳假设，每个子区间上使用 $k-1$ 个节点的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 $2(k-1)+1=2k-3$。由于多项式的定积分是可加的，因此整个定积分的误差为每个子区间误差之和。根据误差公式，

$$
\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)dx - w_i f(x_i) = O(h_i^{2k})
$$

其中 $h_i=x_{i+1}-x_i$ 是子区间的步长。因此，

$$
\sum_{i=0}^{k-1} \left|\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)dx - w_i f(x_i)\right| = O\left(\sum_{i=0}^{k-1} h_i^{2k}\right)
$$

由于 $h_i$ 相等，上式右边的和可以简化为 $kh^2$，因此整个定积分的误差为 $O(kh^2)$，即代数精度为 $2k+1$。这就证明了 $n=k$ 时的结论。

综上所述，对于任意的 $n$，$n$ 个节点的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 $2n+1$。