非线性振动微分方程q( t) ”+ ω2 0 q^( t) = - ε ζq’( t) - ε2 αq^ 2 ( t) q'( t) - ε2 βq^ 3 ( t)的matlab求解程序及庞加莱映射与分岔程序
时间: 2024-05-29 13:11:40 浏览: 17
对于给定的非线性振动微分方程,我们可以使用matlab中的ode45函数进行求解。具体代码如下:
% 定义微分方程
omega0 = 1; % 系统的固有频率
epsilon = 0.1; % 非线性项系数
zeta = 0.1; % 阻尼系数
alpha = 0.1; % 非线性项系数
beta = 0.1; % 非线性项系数
f = @(t, q) [q(2); -omega0^2*q(1) - epsilon*zeta*q(2) - epsilon^2*alpha*q(1)^2*q(2) - epsilon^2*beta*q(1)^3];
% 定义初始条件
tspan = [0, 100];
q0 = [0, 1];
% 求解微分方程
[t, q] = ode45(f, tspan, q0);
% 绘制结果
figure;
plot(t, q(:,1));
xlabel('时间');
ylabel('位移');
接下来,我们可以使用庞加莱映射来观察系统的演化情况,具体代码如下:
% 定义庞加莱映射
P = @(q) [q(1+1), q(1)];
% 定义初始条件
tspan = [0, 10000];
q0 = [0, 1];
% 求解微分方程
[t, q] = ode45(f, tspan, q0);
% 计算庞加莱截面
qP = zeros(1000, 2);
for i=1:length(t)
if mod(t(i), 2*pi/omega0) < 1e-3
qP(i,:) = P(q(i,:));
end
end
qP = qP(qP(:,1)>0, :);
% 绘制结果
figure;
plot(qP(:,1), qP(:,2), '.', 'MarkerSize', 1);
xlabel('q_n');
ylabel('q_{n+1}');
最后,我们可以使用分岔程序来观察系统的分岔现象,具体代码如下:
alpha_vec = linspace(0, 0.2, 100);
beta_vec = linspace(0, 0.2, 100);
bifurcation = zeros(length(alpha_vec), length(beta_vec));
for i=1:length(alpha_vec)
for j=1:length(beta_vec)
alpha = alpha_vec(i);
beta = beta_vec(j);
f = @(t, q) [q(2); -omega0^2*q(1) - epsilon*zeta*q(2) - epsilon^2*alpha*q(1)^2*q(2) - epsilon^2*beta*q(1)^3];
[t, q] = ode45(f, tspan, q0);
qP = zeros(1000, 2);
for k=1:length(t)
if mod(t(k), 2*pi/omega0) < 1e-3
qP(k,:) = P(q(k,:));
end
end
qP = qP(qP(:,1)>0, :);
bifurcation(i,j) = max(qP(:,2));
end
end
figure;
imagesc(alpha_vec, beta_vec, bifurcation);
xlabel('alpha');
ylabel('beta');
colorbar;
注意,以上代码中涉及到的参数和初始条件都需要根据实际情况进行调整。
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