矩阵A,B;r(A+B)=n,r{A上,B在A下}是多少
时间: 2024-04-01 09:37:04 浏览: 22
根据矩阵秩的性质,有 $r(A+B) \leq r(A) + r(B)$,因此 $r(A) + r(B) \geq r(A+B) = n$。
又因为 $B$ 在 $A$ 的下面,所以 $A$ 和 $B$ 的行向量是不同的,因此 $r(A) + r(B) = r(A \mid B)$,其中 $A \mid B$ 表示将矩阵 $A$ 和 $B$ 拼接在一起得到的新矩阵。
因此 $r(A \mid B) \geq r(A) + r(B) \geq n$。
又因为 $A \mid B$ 是 $n$ 行的矩阵,所以 $r(A \mid B) \leq n$。
综上可得,$r(A \mid B) = r(A) + r(B) = n$。
相关问题
矩阵A、B,AB=0,r(A)+r(B)>=r(A+B)吗
不一定。这个结论只在一些特殊情况下成立。具体来说,如果矩阵A和B是n x n的方阵,并且它们的乘积AB等于零矩阵,则有r(A)+r(B)>=n,其中r(A)表示矩阵A的秩。这个结论可以通过利用矩阵秩的性质来证明。但是,在一般情况下,这个结论并不成立。例如,当A为2 x 2的单位矩阵,B为2 x 2的全零矩阵时,虽然AB=0,但是r(A)+r(B)=2,而r(A+B)=1。因此,需要根据具体的矩阵来判断是否成立。
那r(A)+r(B)<=n吗
是的,对于任意的矩阵A和B,都有r(A)+r(B)<=n,其中n为A和B的列数。这个结论可以通过利用矩阵秩的性质以及矩阵加法的定义来证明。具体来说,由于矩阵A和B的秩分别为r(A)和r(B),所以它们各自的列向量组成的子空间的维度分别为r(A)和r(B)。因此,它们的列向量组成的子空间的交(即A和B的公共部分)的维度不超过r(A)+r(B)。另一方面,由于A和B的列向量组成的子空间的和包含了A和B的公共部分,所以它的维度不小于r(A+B)。因此,r(A)+r(B)<=n。
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