为什么如果n阶矩阵A乘以n阶矩阵B不为零矩阵，则A的秩加B的秩小于等于n

假设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $A \cdot B \neq \mathbf{0}$，其中 $\mathbf{0}$ 表示全零矩阵。

根据矩阵乘法的定义，$A \cdot B$ 中的每个元素都是 $A$ 的一行与 $B$ 的一列的乘积之和。因此，$A \cdot B$ 的任何一行都是 $A$ 的行向量与 $B$ 的列向量的线性组合。

如果 $A$ 的秩为 $r_A$，则 $A$ 中必须存在 $r_A$ 个线性无关的行向量（或列向量）。由于 $A \cdot B$ 的任何一行都可以表示为 $A$ 的行向量与 $B$ 的列向量的线性组合，因此 $A \cdot B$ 的行向量最多只能包含 $r_A$ 个线性无关的向量。

另一方面，如果 $B$ 的秩为 $r_B$，则 $B$ 中必须存在 $r_B$ 个线性无关的列向量（或行向量）。由于 $A \cdot B$ 的任何一列都可以表示为 $A$ 的行向量与 $B$ 的列向量的线性组合，因此 $A \cdot B$ 的列向量最多只能包含 $r_B$ 个线性无关的向量。

由于 $A \cdot B$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，因此它最多包含 $n$ 个线性无关的行向量和 $n$ 个线性无关的列向量。因此，$r_A + r_B$ 必须不大于 $n$，即 $r_A + r_B \leq n$。