一维非齐次热传导方程ut-a^2uxx+cu=f，f<=0，举出c(x,t)<0时，u在Q内的最大值小于等于u的正部在Q的抛物边界的最大值不成立的例子

考虑以下例子：

取Q=[0,1]×[0,∞)，a=1，c(x,t)=-1，f=-1。

设u(x,t)=exp(-t)sin(πx)。则有：

- u满足初始条件u(x,0)=0；
- u满足边界条件u(0,t)=u(1,t)=0；
- u满足非齐次热传导方程ut-a^2uxx+cu=f。

可以验证f<=0，c(x,t)<0，但是u在Q内的最大值为exp(1) > 1，而u的正部在Q的抛物边界的最大值为1。因此，最大值原理不成立。

这个例子说明了当c(x,t)<0时，最大值原理不一定成立。

相关问题

一维非齐次热传导方程ut-a^2uxx+c(x,t)u=f(x,t)，f(x,t)<=0，举出c(x,t)<0时，u在Q内的最大值小于等于u的正部在Q的抛物边界的最大值不成立的例子

### 回答1：
考虑如下非齐次热传导方程：

$$u_t-u_{xx}+c(x,t)u=-e^{-t}$$

其中$c(x,t)=-1$，$f(x,t)=-e^{-t}\leq 0$，$a=1$。定义区域$Q=[0,1]\times[0,\infty)$。

我们可以通过分离变量的方法求出该方程的通解：

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_ne^{-(n\pi)^2t}\sin(n\pi x)$$

其中，

$$B_n=-\frac{2}{n\pi}\int_0^1 e^{-t}\sin(n\pi x)dx$$

将$f(x,t)$代入上式，有

$$B_n=-\frac{2}{n\pi}\int_0^1 e^{-t}\sin(n\pi x)dx=\frac{2}{n\pi}\cdot\frac{1-e^{-t}(1+(-1)^{n})}{1+n^2\pi^2}$$

因此，$u(x,t)$的解为

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\cdot\frac{1-e^{-t}(1+(-1)^{n})}{1+n^2\pi^2}\cdot e^{-(n\pi)^2t}\sin(n\pi x)$$

我们可以证明，$u(x,t)$在区域$Q$内的最大值小于等于$u(x,t)$的正部在$Q$的抛物边界的最大值不成立。具体地，当$t\rightarrow\infty$时，

$$\max_{(x,t)\in Q}u(x,t)=1$$

而$u(x,t)$的正部在$Q$的抛物边界的最大值为

$$\max_{(x,t)\in P}u(x,t)=0$$

其中$P=\{(x,t)|x=0, t>0\}\cup\{(x,t)|x=1, t>0\}$。

因此，该方程的解举例说明了当$c(x,t)<0$时，一维非齐次热传导方程中，$u(x,t)$在区域$Q$内的最大值小于等于$u(x,t)$的正部在$Q$的抛物边界的最大值不成立。

### 回答2：
在一维非齐次热传导方程中，我们考虑区域Q={(x,t)|0<=x<=L,t>0}，其中L为正实数。设方程的初边值条件为u(x,0)=g(x)，其中g(x)为已知的函数，边界条件为u(0,t)=u(L,t)=0。

若c(x,t)>0，且f(x,t)<=0，则现有的理论结果表明，u在Q内的最大值小于等于u的正部在Q的抛物边界的最大值，即max{u(x,t)|(x,t)∈Q}<=max{u(x,t)|(x,t)∈P}，其中P={(x,t)|0<=x<=L,t>0,t=T}，T为正实数。

然而，当c(x,t)<0时，这个理论结果不成立。为了举出这个例子，我们可以构造一个例子：

考虑方程ut-a^2uxx -c(x,t)u=f(x,t)，其中c(x,t)=-1，f(x,t)=-x，在区域Q={(x,t)|0<=x<=2,t>0}上，满足边界条件u(0,t)=u(2,t)=0。

用分离变量法求解该方程，假设解为u(x,t)=X(x)T(t)，代入方程得到-X'(t)X(x)T(t)=a^2X''(x)T(t)-X(x)T'(t)-X(x)T(t)。

化简可得到T'(t)/a^2T(t)+X''(x)/X(x)=-1。

为了简化求解过程，假设T(t)=e^(3t/a^2)，带入上述方程得到X''(x)/X(x)=-1-3/a^2。

求解得到X(x)=Acos(sqrt(1+3/a^2)x)+Bsin(sqrt(1+3/a^2)x)，其中A、B为待定常数。

由于边界条件u(0,t)=u(2,t)=0，可得到X(x)=Bsin(sqrt(1+3/a^2)x)。

综上所述，解为u(x,t)=Bsin(sqrt(1+3/a^2)x)e^(3t/a^2)。

当B=1，a=1时，u(x,t)=sin(sqrt(4)x)e^(3t)为一个解。

可以发现，对于某些点(x,t)∈Q，其u值会大于1，而u的正部在边界上的最大值为1，因此对于这种情况，u在Q内的最大值大于u的正部在Q的抛物边界的最大值，即不满足题目中的条件。

### 回答3：
考虑一维非齐次热传导方程:

ut - a^2uxx + c(x,t)u = f(x,t),

其中f(x,t) <= 0，c(x,t) < 0。我们要举出一个例子，使得不成立条件“u在Q内的最大值小于等于u的正部在Q的抛物边界的最大值”。

假设我们取区间Q为[0,1]，且c(x,t) = -1。考虑如下初边值问题:

1）初始条件: u(x,0) = 0，对于0 <= x <= 1。
2）边界条件: u(0,t) = u(1,t) = 0，对于t >= 0。
3）右端项: f(x,t) = -1，对于0 < x < 1，t > 0。

根据上述条件，可以求得解析解为:

u(x,t) = exp(-t)sin(x)，对于0 < x < 1，t >= 0。

我们注意到在t = 0时，解满足初始条件u(x,0) = 0。另外，根据边界条件u(0,t) = u(1,t) = 0，解在区间[0,1]的两个边界点上也为0。

对于0 < x < 1，t >= 0，我们可以计算u(x,t)的最大值为1。然而，对于抛物边界的最大值，我们只需考虑u(x,t)的正部在x=0和x=1处的取值。由于u(0,t) = u(1,t) = 0，即边界点的解为0，因此在抛物边界上，u(x,t)的正部的最大值也为0。因此，u在Q内的最大值（即1）是大于u的正部在Q的抛物边界（即0）的最大值的，所以不成立条件“u在Q内的最大值小于等于u的正部在Q的抛物边界的最大值”。

举出反例说明一维热传导方程ut-a^2uxx+c(x,t)u=f(x,t)当c(x,t)<0时，u(x,t)再Q的闭包上的最大值小于等于u的正部在Q的边界上的最大值

考虑如下例子：

设区域 $Q=(0,1)\times(0,+\infty)$，初始条件为 $u(x,0)=0$，边界条件为 $u(0,t)=u(1,t)=0$，方程为 $u_t-u_{xx}-u=0$。

此时 $c(x,t)=-1<0$，且 $f(x,t)=0$。解为 $u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty b_n e^{-\lambda_n t}\sin n\pi x$，其中 $\lambda_n=1+n^2\pi^2$，$b_n=\int_0^1 u(x,0)\sin n\pi x dx=0$。

可以发现，$u$ 在区域 $Q$ 中的最大值为 $u(0,0)=u(1,0)=0$，而 $u$ 的正部在 $x=0$ 和 $x=1$ 的边界上的最大值为 $\infty$。因此，该反例说明了当 $c(x,t)<0$ 时，一维热传导方程的最大值原理不成立。