hessenberg约化matlab代码

以下是 Hessenberg 约化的 MATLAB 代码实现：

function [H, Q] = hessenberg(A)
% Hessenberg 约化
% 输入参数：矩阵 A
% 输出参数：上 Hessenberg 矩阵 H，相似变换矩阵 Q

n = size(A, 1);
H = A;
Q = eye(n);

for k = 1:n-2
    x = H(k+1:n, k);
    v = [sign(x(1))*norm(x); zeros(n-k-1, 1)];
    v = v + x;
    v = v / norm(v);
    H(k+1:n, k:n) = H(k+1:n, k:n) - 2*v*(v'*H(k+1:n, k:n));
    H(1:n, k+1:n) = H(1:n, k+1:n) - 2*(H(1:n, k+1:n)*v)*v';
    Q(:, k+1:n) = Q(:, k+1:n) - 2*(Q(:, k+1:n)*v)*v';
end

end

该函数接受一个矩阵 A 作为输入参数，并返回 Hessenberg 矩阵 H 和相似变换矩阵 Q。使用循环迭代，逐步将 A 转化为上 Hessenberg 矩阵，并在过程中记录相应的相似变换矩阵。其中，v 表示 Householder 变换向量。

相关问题

Hessenberg QR迭代计算特征值matlab代码

以下是使用Hessenberg QR迭代计算特征值的MATLAB代码：

function [eig_val, eig_vec] = hessenberg_qr_iteration(A, max_iter)
% Hessenberg QR迭代计算特征值和特征向量
n = size(A, 1);
eig_vec = eye(n);
for k = 1:max_iter
    % Hessenberg变换
    for i = n:-1:2
        x = A(i-1:i, i);
        [c, s] = givens(x(1), x(2));
        G = blkdiag(eye(i-2), c, s);
        A([i-1, i], :) = G * A([i-1, i], :);
        A(:, [i-1, i]) = A(:, [i-1, i]) * G';
        eig_vec(:, [i-1, i]) = eig_vec(:, [i-1, i]) * G';
    end
    % QR分解
    for i = 1:n-1
        [c, s] = givens(A(i, i), A(i+1, i));
        G = [c, s; -s, c];
        A(i:i+1, i:n) = G * A(i:i+1, i:n);
        A(:, i:i+1) = A(:, i:i+1) * G';
        eig_vec(:, i:i+1) = eig_vec(:, i:i+1) * G';
    end
    % 判断是否收敛
    if max(abs(diag(A, -1))) < eps
        break;
    end
end
eig_val = diag(A);
end

function [c, s] = givens(a, b)
% 计算Givens矩阵的元素
if b == 0
    c = 1;
    s = 0;
else
    if abs(b) > abs(a)
        t = -a / b;
        s = 1 / sqrt(1 + t^2);
        c = s * t;
    else
        t = -b / a;
        c = 1 / sqrt(1 + t^2);
        s = c * t;
    end
end
end

函数`hessenberg_qr_iteration`实现了Hessenberg QR迭代算法，可以计算矩阵的特征值和特征向量。函数`givens`计算Givens矩阵的元素。在迭代过程中，先将矩阵A通过Hessenberg变换转化为上Hessenberg矩阵，再通过QR分解求解特征值，直到满足收敛条件。在求解特征向量时，需要将每次变换得到的Givens矩阵乘到特征向量矩阵上，以保证特征向量的正确性。

Hessenberg QR 迭代求解特征值和特征向量matlab代码

以下是使用 Hessenberg-QR 迭代方法求解矩阵特征值和特征向量的 MATLAB 代码：

function [eigvals, eigvecs] = hessenberg_qr(A, tol, max_iter)
% 使用 Hessenberg-QR 迭代方法求解矩阵特征值和特征向量

n = size(A, 1);
eigvals = zeros(n, 1);
eigvecs = eye(n);

for k = 1:max_iter
    % 将 A 转化为 Hessenberg 矩阵
    [Q, H] = hessenberg(A);
    % 使用 QR 分解求解特征值和特征向量
    [Q, R] = qr_givens(H);
    A = R * Q + Q' * A * Q;
    eigvals = diag(A);
    eigvecs = eigvecs * Q;
    % 检查是否收敛
    if norm(tril(A, -1), 'fro') < tol
        break;
    end
end
end

function [Q, H] = hessenberg(A)
% 将矩阵 A 转换为 Hessenberg 矩阵

n = size(A, 1);
H = A;
Q = eye(n);

for k = 1:n-2
    % 计算 Householder 矩阵
    x = H(k+1:n, k);
    v = x;
    v(1) = v(1) + sign(x(1)) * norm(x);
    v = v / norm(v);
    % 应用 Householder 变换
    H(k+1:n, k:n) = H(k+1:n, k:n) - 2 * v * (v' * H(k+1:n, k:n));
    H(1:n, k+1:n) = H(1:n, k+1:n) - 2 * (H(1:n, k+1:n) * v) * v';
    Q(:, k+1:n) = Q(:, k+1:n) - 2 * (Q(:, k+1:n) * v) * v';
end
end

这个函数接受一个矩阵 A、一个容差 tol 和一个最大迭代次数 max_iter 作为输入，返回矩阵的特征值和特征向量。函数使用 Hessenberg-QR 迭代方法，该方法通过将矩阵转换为 Hessenberg 矩阵，然后使用 QR 分解来求解特征值和特征向量。

函数开始时，将 A 转换为 Hessenberg 矩阵。然后，函数进入一个迭代循环，在每个迭代步骤中，它使用 QR 分解来计算 Hessenberg 矩阵的特征值和特征向量。然后，函数用新的特征值和特征向量更新 Hessenberg 矩阵和特征向量矩阵。

在每个迭代步骤中，函数检查 Hessenberg 矩阵的下三角部分是否已经足够接近于零。如果是，则停止迭代。否则，函数继续迭代，直到达到最大迭代次数。

函数还包括一个辅助函数 hessenberg，该函数将矩阵 A 转换为 Hessenberg 矩阵。它使用 Householder 变换来将矩阵 A 转换为 Hessenberg 矩阵。