四元数与欧拉角转换示例
时间: 2023-12-18 20:04:18 浏览: 14
假设我们有一个四元数 $q = a + bi + cj + dk$,其中 $a, b, c, d$ 是实数部分和虚数部分的系数。我们想要将其转换为对应的欧拉角 $\theta_x, \theta_y, \theta_z$,即绕 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的旋转角度。下面是一个转换示例:
1. 首先,我们需要计算出 $q$ 的各个参数之间的关系。根据四元数的定义,有:
$$q = a + bi + cj + dk$$
其中 $i, j, k$ 是虚数单位,满足以下关系:
$$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$$
2. 接下来,我们可以使用以下公式将四元数转换为欧拉角:
$$\begin{aligned} \theta_x &= \operatorname{atan2}(2(bc + ad), a^2 - b^2 - c^2 + d^2) \\ \theta_y &= \operatorname{asin}(2(bd - ac)) \\ \theta_z &= \operatorname{atan2}(2(cd + ab), a^2 + b^2 - c^2 - d^2) \end{aligned}$$
其中 $\operatorname{atan2}$ 是一个二元函数,用于计算给定两个参数的反正切值。它的返回值是介于 $-\pi$ 和 $\pi$ 之间的角度。$\operatorname{asin}$ 是一个一元函数,用于计算给定参数的反正弦值。它的返回值是介于 $-\frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{\pi}{2}$ 之间的角度。
3. 将 $q$ 的实部和虚部代入上述公式中,我们可以得到:
$$\begin{aligned} \theta_x &= \operatorname{atan2}(2(bc + ad), a^2 - b^2 - c^2 + d^2) \\ &= \operatorname{atan2}(2(0 \cdot 0 + 1 \cdot a), a^2 - 0^2 - 1^2 + 0^2) \\ &= \operatorname{atan2}(2a, a^2 - 1) \\ \theta_y &= \operatorname{asin}(2(bd - ac)) \\ &= \operatorname{asin}(2(0 \cdot d - 1 \cdot a)) \\ &= \operatorname{asin}(-2a) \\ \theta_z &= \operatorname{atan2}(2(cd + ab), a^2 + b^2 - c^2 - d^2) \\ &= \operatorname{atan2}(2(0 \cdot b + 1 \cdot 0), a^2 + 0^2 - 1^2 - 0^2) \\ &= \operatorname{atan2}(0, a^2 - 1) \\ &= 0 \end{aligned}$$
因此,我们得到了欧拉角 $\theta_x = \operatorname{atan2}(2a, a^2 - 1), \theta_y = \operatorname{asin}(-2a), \theta_z = 0$。这意味着该四元数表示绕 $x$ 轴旋转 $\theta_x$,绕 $y$ 轴旋转 $\theta_y$,不绕 $z$ 轴旋转。
相关推荐
![doc](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083327.png)
![docx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083331.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)