两个节点复化高斯型求积公式

复化高斯型求积公式是一种用于数值积分的方法，可以用来计算一定区间内的函数积分。对于两个节点的情况，其复化高斯型求积公式为：

$$\int_a^b f(x) dx \approx \frac{b-a}{2}\left(w_1f\left(\frac{b-a}{2}x_1+\frac{b+a}{2}\right)+w_2f\left(\frac{b-a}{2}x_2+\frac{b+a}{2}\right)\right)$$

其中 $x_1=-\frac{1}{\sqrt{3}},\ x_2=\frac{1}{\sqrt{3}},\ w_1=w_2=1$ 是高斯型求积公式的节点和权重。该公式的精度为 $\mathcal{O}(h^3)$，其中 $h=\frac{b-a}{2}$ 是每个子区间的长度。

相关问题

两个节点复化高斯型求积公式matlab

以下是两个节点复化高斯型求积公式的 MATLAB 代码：

1. 对于区间 [a,b]，使用两个节点的复化高斯型求积公式：

function I = Gauss2(f,a,b)
% Gauss2: 2-node Gauss quadrature
%   I = Gauss2(f,a,b): 2-node Gauss quadrature of f(x) over [a,b]
% input:
%   f = input funtion
%   a,b = integration limits
% output:
%   I = integral of f(x) over [a,b]

x = [-0.5773502692, 0.5773502692];  % nodes
w = [1.0, 1.0];                     % weights
I = (b-a)/2 * sum(w .* f((b-a)/2 * x + (b+a)/2));

2. 对于区间 [a,b]，使用两个节点的复化高斯型求积公式，将区间等分为 n 个子区间，每个子区间使用两个节点的复化高斯型求积公式：

function I = Gauss2c(f,a,b,n)
% Gauss2c: Composite 2-node Gauss quadrature
%   I = Gauss2c(f,a,b,n): Composite 2-node Gauss quadrature of f(x) over [a,b], using n subintervals
% input:
%   f = input funtion
%   a,b = integration limits
%   n = number of subintervals
% output:
%   I = integral of f(x) over [a,b]

x = [-0.5773502692, 0.5773502692];  % nodes
w = [1.0, 1.0];                     % weights
h = (b-a)/n;                        % subinterval width
I = 0;
for i = 1:n
    I = I + sum(w .* f((h/2) * x + (a+(i-0.5)*h)));
end
I = (b-a)/(2*n) * I;

基于两个节点的复化高斯型求积公式

基于两个节点的复化高斯型求积公式可以表示为：

$$\int_a^bf(x)dx \approx \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mw_if(u_i+v_j)$$

其中，$u_i$和$v_j$分别是第$i$个和第$j$个节点的加权值，$w_i$和$v_j$分别是第$i$个和第$j$个节点的加权系数。具体来说，我们可以将区间$[a,b]$等分成$m$个小区间，然后在每个小区间内选择一个节点$u_i$，并且将每个小区间内的节点$u_i$和$v_j$组合成一个复合节点$u_i+v_j$。然后，选择合适的加权系数$w_i$和$v_j$，使得上式满足求积精度要求。

需要注意的是，节点的选择和加权系数的确定需要根据被积函数的性质进行优化，以获得更高的求积精度。