用O（n^log⁡3）算法来计算A（x）×B（x）。A(x) = 2+3x + x² + 2x³ + x⁴ B(x) = x + 4x² + 2x⁴将递归调用构造为树。，并用图形将树表示出来

首先将A(x)和B(x)补齐为同样的多项式次数（4次），即：

A(x) = 2 3x x² 2x³ x⁴ 0 0 ...
B(x) = x 4x² 0 2x⁴ 0 0 ...

然后将A(x)和B(x)分成两个多项式，分别计算它们的乘积：

C1(x) = 2 3x x² 2x³
D1(x) = x 4x² 0
C2(x) = x⁴ 0 0 ...
D2(x) = 0 2x⁴ 0 ...

然后递归计算C1(x)×D1(x)和C2(x)×D2(x)，再将它们的结果相加得到A(x)×B(x)的结果。

将递归调用构造为树如下图所示：

A(x)×B(x)
/ \
C1(x)×D1(x) C2(x)×D2(x)
/ \ |
C11(x)×D11(x) C12(x)×D12(x) ...

其中，C11(x) = 2 3x，D11(x) = x，C12(x) = x²，D12(x) = 4x²，以此类推。

注：由于文字排版的限制，上图无法完整显示，具体可参考链接：https://i.imgur.com/8nH1p7a.png

相关问题

A(x) = 2+3x + x² + 2x³ + x⁴ B(x) = x + 4x² + 2x⁴，用O（n^log⁡3）算法来计算A（x）×B（x）。将递归调用构造为树。，并用图形将树表示出来

首先将A(x)和B(x)扩展为多项式数组，使它们的长度为2的幂次方，即

A(x) = {2, 3, 0, 2, 0, 0, 0, 0}
B(x) = {0, 1, 4, 0, 2, 0, 0, 0}

然后使用Karatsuba算法来计算它们的乘积。该算法将乘积分解为三个部分：低次项、高次项和中间项。中间项可以通过减去低次项和高次项得到。每个部分都可以使用递归调用来计算。递归调用的过程可以表示为一棵树，其中每个节点表示一个递归调用。下面是该算法的具体步骤：

1. 如果A(x)或B(x)是单项式，直接计算它们的乘积并返回。
2. 将A(x)和B(x)分别分成两个部分：低次项和高次项。例如，如果A(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3，则其低次项为a0 + a1x，高次项为a2x^2 + a3x^3。
3. 通过递归调用计算低次项的乘积P(x)和高次项的乘积Q(x)。
4. 通过递归调用计算中间项的乘积R(x)。
5. 计算乘积的低次项S0，高次项S2和中间项S1，其中S0 = P(0)、S2 = Q(0)和S1 = R(0) - S0 - S2。
6. 将S0、S1和S2组合成乘积的多项式。

下图显示了使用Karatsuba算法计算A(x)×B(x)的树形递归调用过程。每个节点表示一个递归调用，节点的标签表示该调用计算的部分（例如，“A0B0”表示计算A(x)和B(x)的低次项乘积）。节点的颜色表示该节点所属的递归层级，从根节点开始为深蓝色，向下递归颜色逐渐变浅。可以看到，该算法的时间复杂度为O(n^log3)。


本关任务：设计一个2*2的矩阵结构体，然后计算一个矩阵 A 的 n 次幂。为了避免整型溢出，请输出矩阵中每个元素模 10^9+7 后的结果 编程要求 根据提示，在右侧编辑器补充代码，用户先输入一个整数 n 代表幂次，然后四个整型数a, b, c ,d ，分别代表矩阵 A 的四个元素。 A=( a c ​ b d ​ ) 输出A^n中每个元素模10^9+7后的结果。注意：0≤n≤10 9 ，直接使用循环乘法可能会超时，请观察如下整数的快速幂算法，仿写矩阵的快速幂算法。算法复杂度 O(logn) int fpower(int x, int n) { // 计算 x^n, 复杂度 O(log n) int ans = 1; while (n) { if (n % 2) ans *= x; x *= x; n /= 2; } return ans; }

#include <iostream>
using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;

struct Matrix {
    int m[2][2];
    Matrix() {
        memset(m, 0, sizeof(m));
    }
    Matrix operator*(const Matrix& other) const {
        Matrix res;
        for(int i = 0; i < 2; i++)
            for(int j = 0; j < 2; j++)
                for(int k = 0; k < 2; k++)
                    res.m[i][j] = (res.m[i][j] + 1ll * m[i][k] * other.m[k][j]) % mod;
        return res;
    }
};

Matrix qmi(Matrix a, int b) {
    Matrix res;
    res.m[0][0] = res.m[1][1] = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) res = res * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    int n, a, b, c, d;
    cin >> n >> a >> b >> c >> d;
    Matrix A;
    A.m[0][0] = a, A.m[0][1] = b;
    A.m[1][0] = c, A.m[1][1] = d;
    Matrix res = qmi(A, n);
    cout << res.m[0][0] % mod << " " << res.m[0][1] % mod << endl;
    cout << res.m[1][0] % mod << " " << res.m[1][1] % mod << endl;
    return 0;
}