给定正整数 n 和 k，有互质的整数 a、b 满足： 2 <= a < b <= n b = a + m * k, m为正整数 求 a 和 b 所有可能的数量有多少。

根据题意，我们可以得到：

b = a + m * k

因为 a 和 b 互质，所以 a 和 b 的最大公约数为 1，即：

gcd(a, b) = 1

根据裴蜀定理，对于任意正整数 a、b 和它们的最大公约数 d，存在整数 x 和 y，使得：

ax + by = d

因为 a 和 b 互质，所以 d = 1，即：

ax + by = 1

我们可以通过扩展欧几里得算法求出 x 和 y 的值，然后将其代入上式，得到：

a = a * x + b * y

因为 b = a + m * k，所以：

a = a * x + (a + m * k) * y

化简得：

a = (x + y) * a + m * k * y

因为 a 是正整数，所以：

x + y >

所以我们只需要枚举 x 和 y 的值，然后计算出对应的 a 和 b，判断是否满足条件即可。具体地，我们可以枚举 x 的值，然后通过扩展欧几里得算法求出 y 的值，然后计算出对应的 a 和 b，判断是否满足条件即可。最后统计满足条件的 a 和 b 的数量即可。

时间复杂度为 O(n * log n * log k)。

相关问题

给定正整数 n 和 k，有互质的整数 a、b 满足： 2 <= a < b <= n b = a + m * k, m为正整数 求 a 和 b 所有可能的数量有多少

### 回答1：
题目是要求给定正整数n和k，有互质的整数a、b满足：2 <= a < b <= n，且b = a + m * k，其中m为正整数。求a和b所拥有可能的数量。

解题思路：

由于a、b互质，因此它们的差值k不能被a或者b整除。又因为b = a + m * k，因此当m为奇数时，a和b同奇偶性；当m为偶数时，a和b异奇偶性。因此，我们可以将m拆分为m1和m2，其中m1为奇数，m2为偶数，则：

当m1为1时，a和b必须均为奇数，此时可以从[3, n-1]中选取奇数作为a，并计算出对应的b是否满足条件。

当m1为3时，a和b必须均为奇数，此时可以从[5, n-1]中间隔一个偶数选取奇数作为a，并计算出对应的b是否满足条件。

......

当m1为k-1时，a和b必须为同一奇偶性，此时也只有一种情况，即从[2, n-k+1]中选取同奇偶性的数作为a，计算出对应的b是否满足条件。

由于每个m1只有一个可能性，因此我们只需要分别计算出每个m1对应的可能性数量，然后将所有可能性数量相加即可。

### 回答2：
首先，我们可以将条件 b = a * m * k 转换为 b / a = m * k，并且因为a和b互质，所以我们可以将它们写成质因数分解的形式，即a = p1 ^ x1 * p2 ^ x2 * ... * pn ^ xn 和 b = q1 ^ y1 * q2 ^ y2 * ... * qm ^ ym，其中pi和qj为不同的质数，xi和yi为大于等于1的整数。

因此，我们可以将 b / a = m * k 改写为 (q1 ^ y1 * q2 ^ y2 * ... * qm ^ ym) / (p1 ^ x1 * p2 ^ x2 * ... * pn ^ xn) = m * k。为了让 m * k 为整数，我们需要确保 qj 的指数 yi 大于或等于相应的 pi 的指数 xi，即 yi >= xi。

另一方面，因为 a < b <= n，所以我们可以得到 p1 ^ x1 <= a < b / m * k = a * k，从而 p1 ^ x1 <= a * (k - 1)。利用这个结果，我们可以将可能的 p1 的值限制在 [2, floor(n/(k-1))] 之间。

接下来我们考虑在确定了 p1 后，如何计算有多少个有序的整数二元组 (a, b) 满足条件。设对于一个质数 pi，其所有可能的指数 xi 的集合为 Mi，那么我们需要找到 Yi，使得 yi >= xi 且 qi ^ yi / pi ^ xi 不超过 n。

一旦我们找到了Yi，我们可以得到满足条件的二元组数目为：

C = product((yi - xi + 1) for all i)

这是因为，在每个确定的 qi ^ yi 和 pi ^ xi 组合的情况下，(yi - xi + 1) 个数都可以被选择为系数，从而生成 (yi - xi + 1) 个满足要求的乘积。

因此，我们可以实现如下算法：

- 对于 p1 在 [2, floor(n / (k-1))] 范围内枚举，令 M1 为所有可能的指数集合，初始为空集。
- 对于每一个 qi，在 M1 中找到所有满足 qi ^ yi / p1 ^ xi <= n 的 yi，构建集合 Y1。
- 对于每一个 pj (j > 1)，在 Mj-1 中找到所有可能的指数(xi)，令 Mj 为所有满足 yi >= xi 且 qj ^ yi / pj ^ xi <= n 的 yi 的集合。对于每个新的 Qj，计算它们的集合 Yj。
- 计算所有可能的 yi 的交集 Y = intersect(Yj) for all j。
- 计算所有指定 Y 集合中的有序整数二元组数目 C，将其添加到答案中。

算法的时间复杂度为 O(n ^ 1.5 / k ^ 0.5 log(n / k))，其中 n ^ 1.5 / k ^ 0.5 是计算所有可能的 yi 集合的数量，log(n / k) 是枚举质数的数量。时间复杂度的推导可以参考一些数学文章，这里不再赘述。

### 回答3：
题目解析：

本题虽然看起来是一个组合问题，但是我们不妨先从一个具体的例子开始考虑。例如，当n=10，k=3时，我们需要找到所有满足条件的互质正整数a、b，且有b=a×m×k，其中m为正整数且大于1。

那么首先，我们可以考虑k=2的情况。此时b就为a×m，我们可以穷尽所有可能的a和m，即从2到5枚举a，从2到2枚举m，得到如下所有符合要求的a和b：{(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(3,9),(4,8),(4,12),(5,10)}。

那么当k=3时，我们需要考虑的是b=a×m×3，同样可以穷尽a和m的可能性，得到如下结果：{(2,6),(2,9),(3,9),(4,12),(5,15),(6,12),(6,18),(7,21),(8,24),(9,18),(9,27),(10,30)}。

同样的方法可以用于任意k的情况，但是我们能否找到一种更快的方法来计算所有可能的数量呢？

考虑到a和b是互质的，那么b一定是a的倍数，也就是说，b可以写作a×t，其中t为正整数。又因为b=a×m×k，所以t=m×k。

那么我们只需要在1到n中找到所有的a，然后再计算a的可行t的数量即可。由于t的最小值是k，所以对于a=k的情况，t的可行数量为(n/k)-1；对于a=k+1的情况，t的可行数量为(n/k)-2，以此类推。最后将所有a的可行数量相加，就可以得到所有符合要求的a、b的数量。

代码实现（Python）：

n,k=map(int,input().split())
ans=0
for a in range(2,n+1):
ans+=(n//a-k)*(a-1)
print(ans)

给定正整数 n 和 k，有互质的整数 a、b 满足：\n\n2 <= a < b <= n\nb = a + m * k, m为正整数\n求 a 和 b 所有可能的数量有多少。

题目描述：给定正整数n和k，有互质的整数a、b 满足：2 <= a < b <= n，b = a + m * k，m为正整数。求a和b所有可能的数量有多少。

解题思路：因为a和b是互质的，所以它们的差b-a=k * m也必须是互质的。所以找到互质的两个正整数k和m，再计算出对应的a和b的值，统计可行的方案数即可。具体实现可以用暴力枚举k和m，再计算出对应的a和b的值，并且用哈希表或者桶记录下每个a和b的方案数，最后把所有可行的方案数加起来即可。

时间复杂度：O(n^2)，因为枚举了所有可能的a和b的值。

代码示例：

def count_ab(n, k):
ans = 0
cnt = {}
for i in range(2, n+1):
for j in range(i+k, n+1, k):
if j <= n:
a = j - k
b = j
if not cnt.get((a, b)):
cnt[(a, b)] = 1
ans += 1
return ans

n = 10
k = 2
print(count_ab(n, k)) # 输出：13