已知线性时不变系统的微分方程为： y "( t )+ y '( t )+4y( t )= f ( t ), y (0)=3, y '(0)=0. (1）求系统的冲激响应 (2）求在激励下系统的完全响应。。 分享 收藏 编辑 删除

(1) 根据线性时不变系统的定义，其冲激响应为单位冲激函数的响应，即输入信号为 $f(t) = \delta(t)$ 时的响应 $h(t)$。因此，我们可以将输入信号 $f(t)$ 替换为 $\delta(t)$，得到新的微分方程：

$y''(t) + y'(t) + 4y(t) = \delta(t)$

对于单位冲激函数 $\delta(t)$，其导数为 $\delta'(t)$，二阶导数为 $\delta''(t)$。因此，可以得到：

$y''(t) + y'(t) + 4y(t) = \delta(t) \Rightarrow y''(t) + y'(t) + 4y(t) = \delta'(t)$

对上式两边同时进行拉普拉斯变换，得到：

$s^2 Y(s) - sy(0) - y'(0) + sY(s) - y(0) + 4Y(s) = 1$

代入初始条件 $y(0) = 3$ 和 $y'(0) = 0$，整理可得：

$Y(s) = \frac{1}{s^2 + s + 4}$

对上式进行拉普拉斯反变换，得到系统的冲激响应：

$h(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^2 + s + 4} \right\} = \frac{1}{6} e^{-\frac{t}{2}} \sin\left(\frac{\sqrt{15}}{2} t\right)$

(2) 完全响应可以表示为系统的零状态响应和零输入响应之和。零状态响应是指系统在没有外部激励的情况下，由初始状态导致的响应；零输入响应是指系统在初始状态为零的情况下，由外部激励导致的响应。

根据初始条件 $y(0) = 3$ 和 $y'(0) = 0$，可以得到系统的初始状态为 $y_0(t) = 3$ 和 $y'_0(t) = 0$。

将输入信号 $f(t)$ 替换为 $0$，得到新的微分方程：

$y''(t) + y'(t) + 4y(t) = 0$

对上式进行拉普拉斯变换，得到：

$s^2 Y(s) - sy(0) - y'(0) + sY(s) - y(0) + 4Y(s) = 0$

代入初始条件 $y(0) = 3$ 和 $y'(0) = 0$，整理可得：

$Y(s) = \frac{3s + 4}{s^2 + s + 4}$

对上式进行部分分式分解，得到：

$Y(s) = \frac{3}{s^2 + s + 4} + \frac{s + 1}{s^2 + s + 4}$

对每一项分别进行拉普拉斯反变换，得到零状态响应和零输入响应：

$y_z(t) = 3 \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^2 + s + 4} \right\} = \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{2}} \sin\left(\frac{\sqrt{15}}{2} t\right)$

$y_i(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{s+1}{s^2 + s + 4} \right\} = \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{2}} \cos\left(\frac{\sqrt{15}}{2} t\right) + \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{2}} \sin\left(\frac{\sqrt{15}}{2} t\right)$

因此，系统的完全响应为：

$y(t) = y_z(t) + y_i(t) = e^{-\frac{t}{2}} \left( \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\sqrt{15}}{2} t\right) + \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\sqrt{15}}{2} t\right) + \frac{3}{2} \cos\left(\frac{\sqrt{15}}{2} t\right) \right)$