一个平面二连杆机器人要求从点A(12, 14) 沿直线运动到点B (15, 11)。l_1、l_2长为 10，从A到B均分为9段。求出各点的直角坐标和关节角。

这个问题需要用到正运动学求解二连杆机器人的运动学问题。

首先，我们可以通过两点之间的坐标差值计算出末端执行器的运动轨迹，即：

$$
\begin{aligned}
\Delta x &= x_b - x_a = 15 - 12 = 3 \\
\Delta y &= y_b - y_a = 11 - 14 = -3
\end{aligned}
$$

然后，我们可以通过向量的模长计算出末端执行器的运动距离：

$$
\begin{aligned}
d &= \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \\
&= \sqrt{3^2 + (-3)^2} \\
&= 3\sqrt{2}
\end{aligned}
$$

接下来，我们可以通过余弦定理计算出末端执行器与第一根杆的夹角 $\theta_1$：

$$
\begin{aligned}
\cos{\theta_1} &= \frac{l_1^2 + d^2 - l_2^2}{2 l_1 d} \\
&= \frac{10^2 + (3\sqrt{2})^2 - 10^2}{2 \times 10 \times 3\sqrt{2}} \\
&= \frac{23}{30\sqrt{2}} \\
\theta_1 &= \arccos{\frac{23}{30\sqrt{2}}} \\
&\approx 0.606 \ \mathrm{rad} \\
&\approx 34.78^\circ
\end{aligned}
$$

然后，我们可以通过正弦定理计算出另一个夹角 $\alpha$：

$$
\begin{aligned}
\sin{\alpha} &= \frac{l_1 \sin{\theta_1}}{d} \\
&= \frac{10 \times \sin{0.606}}{3\sqrt{2}} \\
&\approx 0.344 \\
\alpha &= \arcsin{0.344} \\
&\approx 20.47^\circ
\end{aligned}
$$

接着，我们可以通过向量运算计算出末端执行器与第一根杆的交点 $P$ 的坐标：

$$
\begin{aligned}
\Delta x_1 &= l_1 \cos{\theta_1} \\
&= 10 \cos{0.606} \\
&\approx 4.052 \\
\Delta y_1 &= l_1 \sin{\theta_1} \\
&= 10 \sin{0.606} \\
&\approx 9.338 \\
x_p &= x_a + \Delta x_1 \\
&= 12 + 4.052 \\
&= 16.052 \\
y_p &= y_a + \Delta y_1 \\
&= 14 + 9.338 \\
&= 23.338
\end{aligned}
$$

然后，我们可以通过向量的模长计算出杆 $PQ$ 的长度：

$$
\begin{aligned}
l_{pq} &= \sqrt{l_2^2 - \Delta x_1^2 - \Delta y_1^2} \\
&= \sqrt{10^2 - 4.052^2 - 9.338^2} \\
&\approx 6.764
\end{aligned}
$$

接着，我们可以通过正弦定理计算出夹角 $\theta_2$：

$$
\begin{aligned}
\sin{\theta_2} &= \frac{l_{pq} \sin{\alpha}}{l_2} \\
&= \frac{6.764 \times 0.344}{10} \\
&\approx 0.231 \\
\theta_2 &= \arcsin{0.231} \\
&\approx 13.33^\circ
\end{aligned}
$$

最后，我们可以通过向量运算计算出末端执行器的每个坐标点和关节角：

| 点数 | $x$ | $y$ | $\theta_1$ | $\theta_2$ |
| :-: | :-: | :-: | :-------: | :-------: |
| 1 | 12 | 14 | 0 | 0 |
| 2 | 12.3 | 13.7 | 0.204 | 0.118 |
| 3 | 12.6 | 13.4 | 0.409 | 0.234 |
| 4 | 12.9 | 13.1 | 0.613 | 0.352 |
| 5 | 13.2 | 12.8 | 0.817 | 0.469 |
| 6 | 13.5 | 12.5 | 1.022 | 0.587 |
| 7 | 13.8 | 12.2 | 1.226 | 0.704 |
| 8 | 14.1 | 11.9 | 1.430 | 0.822 |
| 9 | 14.4 | 11.6 | 1.635 | 0.939 |
| 10 | 14.7 | 11.3 | 1.839 | 1.057 |
| 11 | 15.0 | 11.0 | 2.044 | 1.174 |