CG迭代法python

CG（共轭梯度）法是一种优化算法，用于解决大规模线性方程组的问题。它是一种迭代方法，每次迭代都会沿着共轭方向进行优化，从而加快收敛速度。

以下是一个简单的 Python 实现：

import numpy as np

def conjugate_gradient(A, b, x=None):
    n = len(b)
    if not x:
        x = np.ones(n)

    r = b - np.dot(A, x)
    p = r
    rsold = np.dot(r, r)

    for i in range(n):
        Ap = np.dot(A, p)
        alpha = rsold / np.dot(p, Ap)
        x = x + alpha * p
        r = r - alpha * Ap
        rsnew = np.dot(r, r)
        if np.sqrt(rsnew) < 1e-10:
            break
        p = r + (rsnew / rsold) * p
        rsold = rsnew

    return x

其中，A 是系数矩阵，b 是常数向量，x 是初始解向量（默认为全 1 向量）。函数首先计算初始残差向量 r，然后沿着共轭方向进行优化，直到残差向量的范数小于设定的阈值（这里设为 1e-10）。函数返回最终的解向量 x。

你可以使用这个函数来解决线性方程组的问题。例如，假设你想要解决下面的方程组：

3x + y = 9
x + 2y = 8

可以先将系数矩阵和常数向量定义为 NumPy 数组：

A = np.array([[3, 1], [1, 2]])
b = np.array([9, 8])

然后调用 `conjugate_gradient` 函数：

x = conjugate_gradient(A, b)
print(x)

输出结果为：

[2. 3.]

这表示方程组的解为 x=2，y=3。