c++二分法求x^2-2=0的近似算术平方根

在C++中，你可以使用二分查找（Binary Search）算法来近似求解给定方程 `x^2 - 2 = 0` 的正实数解，即算术平方根。这个方程的解实际上是 \(\sqrt{2}\)，但我们通常使用二分法寻找接近该值的一个数值。

首先，我们需要一个函数来判断方程 `f(x) = x^2 - 2` 的某一点是否满足条件。然后，通过不断缩小搜索范围，将区间分成两半，直到找到一个足够精确的解。以下是简单的步骤：

1. 定义两个初始边界 `low` 和 `high`，比如 `low = 0` 和 `high = max_value`，其中 `max_value` 是一个足够大的数（如 `INT_MAX`），因为 \(\sqrt{2}\) 约等于 1.414。
2. 计算区间的中间点 `mid`：`mid = (low + high) / 2`。
3. 检查 `f(mid)` 是否接近零，如果很接近，则认为 `mid` 是解；如果 `f(mid)` 小于零，说明解应该在 `mid` 到 `high` 之间；如果大于零，说明解应该在 `low` 到 `mid` 之间。
4. 如果差值 `abs(f(mid))` 足够小，就停止循环；否则，递归地在上述确定的范围内重复步骤2到4。
5. 返回 `mid` 作为近似的解。

这是伪代码的形式：

double binary_search_root(double low, double high) {
    if (low > high) return 0; // 如果边界交叉则返回0

    double mid = (low + high) / 2;
    double f_mid = pow(mid, 2) - 2;

    if (abs(f_mid) < ε) return mid; // ε是精度阈值
    else if (f_mid < 0) return binary_search_root(mid, high);
    else return binary_search_root(low, mid);
}

// 使用时调用并传入初始边界
double approx_sqrt_2 = binary_search_root(0, INT_MAX);