$$ \begin{aligned} min \quad&\sum_{t=1}^{T}\sum_{i=1}^{n}\lbrace C_ix_i(t) + h_iy_i(t) +\sum_{j=1}^ns_{ij}w_{ij}(t) \rbrace\\ s.t. \quad &y_i(t-1)+x_i(t)-\sum_{j=1}^{n}w_{ij}(t)=y_i(t)\\ \quad &\sum_{j=1}^{n}w_{ji}(t)=z_i(t)\\ &y_i(t)\ge 0\\ &y_i(0)=0\\ &i=1,2,...,n\\ &j=1,2,...,n\\ \end{aligned} $$将这个用latex编写的整数规划模型写成分布式鲁棒优化模型，其中需求$z_i(t)$为不确定的

为了将整数规划模型转化为分布式鲁棒优化模型，我们需要引入分布式变量和鲁棒约束。我们可以通过将每个变量分解为主节点和从节点的和来引入分布式变量，然后使用鲁棒约束来保证解的鲁棒性。

具体地，我们将整数规划模型中的变量 $x_i(t)$ 和 $y_i(t)$ 分解为主节点和从节点的和，即 $x_i(t) = \bar{x}_i(t) + \tilde{x}_i(t)$ 和 $y_i(t) = \bar{y}_i(t) + \tilde{y}_i(t)$，其中 $\bar{x}_i(t)$ 和 $\bar{y}_i(t)$ 是主节点的变量，$\tilde{x}_i(t)$ 和 $\tilde{y}_i(t)$ 是从节点的变量。我们还将 $w_{ij}(t)$ 分解为 $w_{ij}(t) = \bar{w}_{ij}(t) + \tilde{w}_{ij}(t)$，其中 $\bar{w}_{ij}(t)$ 和 $\tilde{w}_{ij}(t)$ 分别是主节点和从节点的变量。

然后，我们将整数规划模型中的约束转化为分布式鲁棒优化模型中的鲁棒约束。具体地，我们将约束 $y_i(t-1)+x_i(t)-\sum_{j=1}^{n}w_{ij}(t)=y_i(t)$ 转化为以下鲁棒约束：

$$
\begin{aligned}
&\bar{y}_i(t-1) + \tilde{y}_i(t-1) + \bar{x}_i(t) + \tilde{x}_i(t) \\
&\quad - \sum_{j=1}^{n}(\bar{w}_{ij}(t) + \tilde{w}_{ij}(t)) \\
&\quad - \bar{y}_i(t) - \tilde{y}_i(t) \in [-\Delta_{y_i(t)}, \Delta_{y_i(t)}], \\
\end{aligned}
$$

其中 $\Delta_{y_i(t)}$ 是 $y_i(t)$ 的容忍度。

类似地，我们将约束 $\sum_{j=1}^{n}w_{ji}(t)=z_i(t)$ 转化为以下鲁棒约束：

$$
\begin{aligned}
&\sum_{j=1}^{n}(\bar{w}_{ji}(t) + \tilde{w}_{ji}(t)) - z_i(t) \in [-\Delta_{z_i(t)}, \Delta_{z_i(t)}], \\
\end{aligned}
$$

其中 $\Delta_{z_i(t)}$ 是 $z_i(t)$ 的容忍度。

最后，我们将整数规划模型中的目标函数转化为以下分布式鲁棒优化模型的目标函数：

$$
\begin{aligned}
&\min_{\bar{x}(t), \tilde{x}(t), \bar{y}(t), \tilde{y}(t), \bar{w}(t), \tilde{w}(t)} \\
&\quad \sum_{t=1}^{T}\sum_{i=1}^{n}\lbrace C_i\bar{x}_i(t) + h_i\bar{y}_i(t) \\
&\quad +\sum_{j=1}^ns_{ij}\bar{w}_{ij}(t) + C_i\tilde{x}_i(t) + h_i\tilde{y}_i(t) \\
&\quad +\sum_{j=1}^ns_{ij}\tilde{w}_{ij}(t) \rbrace, \\
&\text{s.t.} \\
&\quad \bar{y}_i(t-1) + \tilde{y}_i(t-1) + \bar{x}_i(t) + \tilde{x}_i(t) \\
&\quad - \sum_{j=1}^{n}(\bar{w}_{ij}(t) + \tilde{w}_{ij}(t)) \\
&\quad - \bar{y}_i(t) - \tilde{y}_i(t) \in [-\Delta_{y_i(t)}, \Delta_{y_i(t)}], \\
&\quad \sum_{j=1}^{n}(\bar{w}_{ji}(t) + \tilde{w}_{ji}(t)) - z_i(t) \in [-\Delta_{z_i(t)}, \Delta_{z_i(t)}], \\
&\quad \bar{y}_i(t) + \tilde{y}_i(t) \ge 0, \\
&\quad \bar{y}_i(0) + \tilde{y}_i(0) = 0, \\
&\quad i=1,2,...,n,\quad j=1,2,...,n. \\
\end{aligned}
$$

这样，我们就将整数规划模型成功转化为了分布式鲁棒优化模型。