放苹果，把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。测试样例：输入：7 3输出：8

这是一个经典的组合数学问题，可以使用“隔板法”来解决。

我们将M个苹果放在一排，然后在它们之间插入N-1个隔板，表示将苹果分成N组。例如，当M=7，N=3时，排列如下：

o o o | o o | o o

其中，每一组的苹果数量就是相邻隔板之间的苹果数量。例如，第一组有3个苹果，第二组有2个苹果，第三组有2个苹果。

因此，问题就转化为了在M+N-1个位置中选择N-1个位置插入隔板的方案数，即：

K = C(M+N-1, N-1) = C(7+3-1, 3-1) = C(9, 2) = 36/2 = 18

但是，由于题目中要求“同一种分法”只算一种，因此我们需要去除重复的方案数。在这个例子中，1，5，1和5，1，1是同一种分法，因此需要去除重复的方案数。

为了避免重复，我们可以规定每个盘子里面的苹果数量不小于前面的盘子里面的苹果数量。例如，1，5，1是合法的，但是5，1，1是不合法的，因为它与1，5，1是重复的。

根据这个规定，我们可以得到每个盘子里面的苹果数量，然后再按照隔板法的方法计算方案数。例如，1，5，1对应的隔板排列为：

o | o o o o | o

其中，第一个盘子里面放了1个苹果，第二个盘子里面放了5个苹果，第三个盘子里面放了1个苹果。因此，方案数为：

K' = C(2+3-1, 3-1) = C(4, 2) = 6

同样地，对于其他的分法，也可以按照这个方法计算方案数，并去除重复的方案数。最终，经过计算，可以得到：

K = 18 - 2 = 16

因此，将5个苹果放在3个盘子里的不同分法有16种。

相关问题

把m个同样的苹果放在n个同样的盘子里,允许有的盘子空着不放,问共有多少种不同的分

如果允许有的盘子空着不放，这意味着每个盘子可以放0个或苹果个数的任意个数，总共有无数种分法。但是如果我们把空着不放的盘子排除在外，只考虑每个盘子至少放1个苹果的情况下，分法就有限制了。

我们可以用一种叫做"stars and bars"的方法来计算这个问题。假设每个盘子之间都有一个隔板来分隔苹果，前面的隔板表示前一个盘子放的苹果个数，最后一个隔板表示最后一个盘子剩下的苹果个数。例如，当m=3，n=2时，我们可以表示为：

★ | ★ ★ ｜ ☆ ☆

其中，★表示苹果，|表示隔板，☆表示空着不放的盘子。则第一个盘子放了1个苹果，第二个盘子放了2个苹果，第三个盘子空着不放。

而不同分法的种类数就等于将m个苹果和n-1个隔板排列在一起的不同排列数。即C(m+n-1,n-1) = (m+n-1)! / (n-1)!*m!。

所以，答案就是 C(m+n-1,n-1) = (m+n-1)! / (n-1)!*m! 种不同的分法。

把m个同样的苹果放在n个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？

### 回答1：
这是一个经典的组合问题，求解的公式为：

C(m+n-1, n-1)

其中，C表示组合数，m表示苹果的个数，n表示盘子的个数。

具体解释如下：

将m个苹果放入n个盘子中，可以看作是将m个苹果分成n份的问题。我们可以用n-1个隔板将这m个苹果分成n份，每份至少有一个苹果。例如，将4个苹果分成3份，可以表示为：

* | ** * | ** * *

其中，*表示一个苹果，|表示一个隔板，左边的苹果分到第一个盘子中，中间的苹果分到第二个盘子中，右边的苹果分到第三个盘子中。

因此，将m个苹果分成n份的方案数，就等于将m个苹果和n-1个隔板排成一排的方案数，即：

C(m+n-1, n-1)

这就是答案。

### 回答2：
这道题目需要用到组合数学的知识来解决。我们可以假设有m个同样的苹果和n个同样的盘子，用x1, x2, ..., xn来代表每个盘子里放的苹果的个数，那么问题就转化为了如何找到所有满足下面条件的x1, x2, ..., xn的数量：

1. 每个xi都是非负整数
2. xi的和等于m

注意到没有对xi进行大小顺序的限制，所以这就是一个组合问题。我们可以用“插板法”来解决这个问题，即从m个苹果中选择n-1个位置来插n-1个板子，每个板子左边的苹果就对应放在一个盘子里的苹果个数。例如，在4个苹果，3个盘子的情况下，将苹果分开的分法可以表示为：

O | OO | O

其中“|”代表插板，左边的一堆1代表第一组放一个苹果的盘子，中间的一堆2代表第二组放两个苹果的盘子，右边的一堆1代表第三组放一个苹果的盘子。

因此，总共的分法数为C(m+n-1, n-1)，其中C代表组合数。此题的答案就是将m个苹果放入n个盘子中，允许盘子空着的方案数，所以本题的答案为C(m+n-1, n-1)。

### 回答3：
这道题需要我们运用组合数学的知识来解决。我们可以从小规模的情况开始推导，先考虑只有1个盘子的情况。此时我们只能把所有的苹果都放到这个盘子中，所以只有1种分法。

接下来考虑有2个盘子的情况。我们可以将所有的苹果都放在第一个盘子中，或者将苹果放在第二个盘子中，或者将苹果均分放在两个盘子中，因此有3种分法。

对于有3个盘子的情况，我们可以继续按照相似的思路来推导。假设第一个盘子有x个苹果，第二个盘子有y个苹果，第三个盘子有z个苹果。那么我们分别考虑这三种情况：

1. 第一个盘子有0个苹果，第二个盘子有0个苹果，第三个盘子有m个苹果，这种情况只有1种分法。

2. 第一个盘子有1个苹果，第二个盘子有0个苹果，第三个盘子有m-1个苹果。由于我们可以任意选择苹果放在第一个盘子中，因此有m种不同的放法。

3. 第一个盘子有x个苹果，第二个盘子有y个苹果，第三个盘子有z个苹果，且x+y+z=m。对于任意的分配方案，我们都可以通过将一个苹果从第一个盘子中挪到第二个盘子中，或者从第一个盘子中挪到第三个盘子中，或者从第二个盘子中挪到第三个盘子中，来得到新的方案。因此，对于这种情况，共有C(m-1,2)种不同的分法。

综上所述，有n个盘子时的分法总数应该是：

C(m+n-1,n-1) = (m+n-1)! / ((n-1)! * m!)

其中C表示组合数，m!表示m的阶乘。 例如，如果有4个苹果和3个盘子，不同的分配方案为：

1. 第一个盘子有0个苹果，第二个盘子有0个苹果，第三个盘子有4个苹果。

2. 第一个盘子有1个苹果，第二个盘子有0个苹果，第三个盘子有3个苹果。

3. 第一个盘子有2个苹果，第二个盘子有0个苹果，第三个盘子有2个苹果。

4. 第一个盘子有3个苹果，第二个盘子有0个苹果，第三个盘子有1个苹果。

5. 第一个盘子有4个苹果，第二个盘子有0个苹果，第三个盘子有0个苹果。

6. 第一个盘子有0个苹果，第二个盘子有1个苹果，第三个盘子有3个苹果。

7. 第一个盘子有1个苹果，第二个盘子有1个苹果，第三个盘子有2个苹果。

8. 第一个盘子有2个苹果，第二个盘子有1个苹果，第三个盘子有1个苹果。

9. 第一个盘子有3个苹果，第二个盘子有1个苹果，第三个盘子有0个苹果。

10. 第一个盘子有0个苹果，第二个盘子有2个苹果，第三个盘子有2个苹果。

11. 第一个盘子有1个苹果，第二个盘子有2个苹果，第三个盘子有1个苹果。

12. 第一个盘子有2个苹果，第二个盘子有2个苹果，第三个盘子有0个苹果。

13. 第一个盘子有0个苹果，第二个盘子有3个苹果，第三个盘子有1个苹果。

14. 第一个盘子有1个苹果，第二个盘子有3个苹果，第三个盘子有0个苹果。

因此，总共有14种不同的分法。