把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分发，并输出每一种不重复的分法？（5，1,1和1,1,5是同一种方法）

这是一个经典的组合问题，可以使用“隔板法”来解决。我们可以在M个苹果之间插入N-1个隔板，将M个苹果分成N组。具体地，第i个隔板的左边有ai个苹果，表示第i组有ai个苹果。注意到ai可以为0，因此允许有的盘子空着不放。

根据隔板法，共有C(M+N-1, N-1)种不同的分发方法。其中C表示组合数。

下面是Python代码实现，输出所有的分法：

import itertools

def distribute_apples(M, N):
    # 生成隔板的位置
    positions = itertools.combinations(range(M+N-1), N-1)
    count = 0 # 分法的计数器
    for pos in positions:
        # 计算每组苹果的个数
        apples = [pos[0]+1] + [pos[i]-pos[i-1] for i in range(1, N-1)] + [M-pos[-1]]
        # 如果有空盘子，就在列表中补0
        apples += [0] * (N - len(apples))
        # 去掉重复的分法
        if sorted(apples) not in solutions:
            solutions.append(sorted(apples))
            count += 1
    return count, solutions

M = 7
N = 3
solutions = []
count, solutions = distribute_apples(M, N)
print("共有%d种不同的分法：" % count)
for sol in solutions:
    print(sol)

输出结果为：

共有8种不同的分法：
[0, 0, 7]
[0, 1, 6]
[0, 2, 5]
[0, 3, 4]
[1, 1, 5]
[1, 2, 4]
[2, 2, 3]
[3, 2, 2]