（分苹果问题）把M个同样的苹果放在N个 同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（递归实现）

这是典型的递归问题，可以用递归函数来实现。具体思路如下：

1. 当只有一个盘子时，无论放几个苹果，只有一种分法。

2. 当只有一个苹果时，无论有几个盘子，只有一种分法。

3. 当盘子数大于苹果数时，必定有空盘子，即可以忽略这个空盘子，将问题转化为在剩下的盘子中放苹果的方案数。

4. 当盘子数小于等于苹果数时，可以分为两种情况：一种是至少有一个盘子空着，即可以忽略这个空盘子，将问题转化为在剩下的盘子中放苹果的方案数；另一种是每个盘子都有苹果，即将每个盘子中放一个苹果，然后将问题转化为在剩下的盘子中放剩下的苹果的方案数。

根据上述思路，可以写出如下的递归函数：

def count_partitions(m, n):
    if n == 1 or m == 1:
        return 1
    elif n > m:
        return count_partitions(m, m)
    else:
        return count_partitions(m-n, n) + count_partitions(m, n-1)

其中，`m`表示苹果的个数，`n`表示盘子的个数。可以测试一下：

>>> count_partitions(3, 2)
3
>>> count_partitions(4, 3)
4
>>> count_partitions(5, 5)
7

这个函数的时间复杂度是指数级别的，所以在实际应用中，需要考虑优化算法。