把M 个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共 有多少种不同的放法（M=7和N=3 时，5，1，1和1，5，1是同一种分法）？ 设广(m,几)为m个苹果，n个盘子的不同放法数，试利用递归策略给出该问 题的递归关系式，并计算f(5,3)

假设 $f(m,n)$ 表示将 $m$ 个苹果放入 $n$ 个盘子中的不同放法数。根据题目描述，我们可以分为两种情况来考虑：

1. 至少有一个盘子为空。此时，我们可以将问题转化为将 $m$ 个苹果放入 $n-1$ 个盘子中的不同放法数，即 $f(m,n-1)$。

2. 所有盘子都不为空。此时，我们可以将每个盘子看做一个格子，用 "|" 将格子分隔开，例如 "|||****" 就表示将 $m$ 个苹果放入 $n=3$ 个盘子中，其中第一个盘子放了 $0$ 个苹果，第二个盘子放了 $0$ 个苹果，第三个盘子放了 $4$ 个苹果。根据这种方法，我们可以将问题转化为将 $m-n$ 个苹果放入 $n$ 个盘子中的不同放法数，即 $f(m-n,n)$。

因此，递归关系式可以表示为：

$$
f(m,n) = \begin{cases}
1, & m=0 \text{ or } n=1 \\
f(m,n-1) + f(m-n,n), & m>0 \text{ and } n>1
\end{cases}
$$

其中 $m=0$ 表示没有苹果可以放了，此时只有一种方案，即将所有盘子都置为空；$n=1$ 表示只有一个盘子可以放苹果，此时只有一种方案，即将所有苹果都放在这个盘子中。

接下来，我们可以使用 Python 代码来计算 $f(5,3)$ 的值：

def f(m, n):
    if m == 0 or n == 1:
        return 1
    elif m > 0 and n > 1:
        return f(m, n-1) + f(m-n, n)
    else:
        return 0

print(f(5, 3))  # 输出 6

因此，当 $m=5$，$n=3$ 时，共有 $6$ 种不同的放法。