把m个同样的苹果放在n个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用k表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法

### 回答1：
这是一个经典的组合问题，可以使用插板法来解决。

假设有m个苹果和n个盘子，我们可以用n-1个板子将这m个苹果分成n组，每组表示放在一个盘子里的苹果数。

例如，当m=5，n=3时，可以用4个板子将5个苹果分成3组：

OO|OOO|O

表示第一个盘子放了个苹果，第二个盘子放了3个苹果，第三个盘子放了1个苹果。

根据插板法，共有C(m+n-1, n-1)种不同的分法，其中C表示组合数。

但是，题目中要求同样的分法只算一种，因此需要去重。具体来说，对于每种分法，我们可以将苹果数从小到大排序，这样就可以保证同样的分法只出现一次。

例如，对于5个苹果分成1，1，3和3，1，1这两种分法，排序后都变成了1，1，3，因此只算一种。

综上所述，共有C(m+n-1, n-1) / n种不同的分法，其中/ n是因为需要去重。

### 回答2：
这个问题可以用数学知识来解决，具体来说是通过排列组合的方法来求解。

首先，我们可以考虑将这m个苹果放到n个盘子里面，不考虑空盘子的情况下，总共有多少种放法。这可以用经典问题“放球问题”来解决，即将m个球放入n个不同盒子的方案数。根据分配原理，这个方案数为：

C(m+n-1, n-1)

其中，C表示组合数，表示从m+n-1个元素中选择n-1个元素的组合数。

接下来考虑有空盘子的情况。我们可以用插板法来解决这个问题，即将n个盘子之间放置n-1个板子，其中第k个板子表示第k个盘子之前（不包括第k个盘子）有多少个盘子被占用了。显然，每个板子可以放在n-1个位置上（包括第一个盘子和最后一个盘子的两端），因此总方案数为：

C(m+n-1, n-1) * n^(n-1)

但是，这个结果还没有考虑盘子之间的顺序，即对于一组分配方案，如果将其中两个非空盘子交换顺序，那么得到的方案是不同的。具体来说，如果将k和l两个非空盘子交换位置，则其对应的分配方案仍然是不同的，当且仅当k和l之间的所有盘子都是空盘子。因此，我们可以将n个盘子拆分成若干个“盘子块”，每个盘子块中的盘子都是相邻的且都是空盘子，盘子块之间的位置可以随意调整。显然，共有n!种不同的盘子块排列方式，因此最终方案数为：

k = (1/n!) * C(m+n-1, n-1) * n^(n-1)

综上所述，将m个苹果放到n个盘子里，允许有的盘子空着不放，共有k种不同的分法，其中k的计算公式为：

k = (1/n!) * C(m+n-1, n-1) * n^(n-1)

### 回答3：
这是一道比较典型的组合数学问题。我们可以采用“球盒问题”的思想来解决。

将m个同样的苹果放到n个同样的盘子中，可以看作在m个苹果之间放入（n-1）个隔板的问题。将盘子从左到右编号为1，2，……，n-1，为了保证至少有一个苹果放在每个盘子里，我们在m个苹果之间插入n-1个隔板，这样就可将m个苹果分成n份，每份代表每个盘子里的苹果数。

例如，假设有4个苹果和3个盘子，我们将隔板插入苹果之间，得到：

* 苹果 | 苹果 | 苹果 | 隔板 | 苹果 | 隔板 | 苹果 |
* 第1个盘子 | 第2个盘子 | 第3个盘子 |

在这个排列中，第1个盘子里有3个苹果，第2个盘子里有1个苹果，第3个盘子里有0个苹果。

因此，问题就变成了将m个苹果和(n-1)个隔板进行排列的问题。总的方案数k就是(m+n-1)个物体进行排列，其中m个苹果和(n-1)个隔板相同，因此方案数为：

k = (m+n-1)! / (m!*(n-1)!)

需要注意的是，对于任意的排列，如果其中有两个盘子的苹果分布完全相同，那么这两种排列就是等价的。因此，我们需要将所有等价的排列视为同一种分法。

综上所述，将m个苹果放入n个盘子中的不同分法数为：

k' = (m+n-1)! / (m!*(n-1)!) / n

其中，除以n是为了将所有等价的排列视为同一种分法。