C语言赛德尔迭代法求方程组的解

赛德尔迭代法是一种迭代方法，可以用来求解线性方程组的解。对于一个 n 元线性方程组：

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
……
an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn

可以使用赛德尔迭代法求解。迭代公式如下：

x1(k+1) = (b1 - a12x2(k) - a13x3(k) - … - a1nxn(k)) / a11
x2(k+1) = (b2 - a21x1(k+1) - a23x3(k) - … - a2nxn(k)) / a22
x3(k+1) = (b3 - a31x1(k+1) - a32x2(k+1) - … - annxn(k)) / a33
…
xn(k+1) = (bn - an1x1(k+1) - an2x2(k+1) - … - ann-1xn-1(k+1)) / ann

其中 k 表示迭代次数，x1(k+1) 表示第一次迭代后 x1 的值，x2(k+1) 表示第一次迭代后 x2 的值，以此类推。

初始值可以取 x1(0) = x2(0) = … = xn(0) = 0，然后按照上述迭代公式进行迭代，直到满足一定的精度要求为止。

相关问题

c语言实现赛德尔迭代法求解方程组

以下是使用 C 语言实现赛德尔迭代法求解线性方程组的示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define N 3 // 方程组的元数
#define MAX_ITERATION 1000 // 最大迭代次数
#define EPSILON 1e-9 // 精度要求

int main() {
    double a[N][N] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}; // 系数矩阵
    double b[N] = {4, 5, 6}; // 常数向量
    double x[N] = {0}; // 初始解向量
    double x_old[N] = {0}; // 上一次的解向量
    int iteration = 0; // 迭代次数

    // 开始迭代
    while (iteration < MAX_ITERATION) {
        // 保存上一次的解向量
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            x_old[i] = x[i];
        }

        // 更新解向量的每个元素
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            double sum1 = 0;
            double sum2 = 0;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                sum1 += a[i][j] * x[j];
            }
            for (int j = i + 1; j < N; j++) {
                sum2 += a[i][j] * x_old[j];
            }
            x[i] = (b[i] - sum1 - sum2) / a[i][i];
        }

        // 判断是否满足精度要求
        int flag = 1;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            if (abs(x[i] - x_old[i]) > EPSILON) {
                flag = 0;
                break;
            }
        }
        if (flag) {
            break;
        }

        iteration++;
    }

    // 输出解向量
    printf("Solution:\n");
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        printf("x%d = %f\n", i + 1, x[i]);
    }

    return 0;
}

其中，a[N][N] 表示系数矩阵，b[N] 表示常数向量，x[N] 表示解向量，x_old[N] 表示上一次的解向量，iteration 表示迭代次数，flag 表示是否满足精度要求。在这个示例中，系数矩阵和常数向量都是固定的，可以根据实际情况进行修改。

c语言雅克比迭代法求方程组

雅克比迭代法是一种基于线性方程组的迭代方法，用于求解线性方程组的解。下面是使用雅克比迭代法求解线性方程组的C语言代码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define N 3

int main()
{
    double a[N][N+1] = {{2, 1, -1, 8}, 
                        {-3, -1, 2, -11}, 
                        {-2, 1, 2, -3}};
    double x[N], x_old[N], error = 1e-6;
    int i, j, k, flag;

    for (i = 0; i < N; i++) {
        x[i] = 0; // 初始化解向量
    }

    do {
        flag = 1; // 标志位
        for (i = 0; i < N; i++) {
            x_old[i] = x[i]; // 保存上一轮迭代的值
            x[i] = a[i][N] / a[i][i]; // 计算当前迭代的解向量
            for (j = 0; j < N; j++) {
                if (j == i) {
                    continue;
                }
                x[i] -= a[i][j] * x_old[j] / a[i][i]; // 更新解向量
            }
            if (fabs(x[i] - x_old[i]) > error) { // 判断误差
                flag = 0;
            }
        }
    } while (!flag);

    for (i = 0; i < N; i++) {
        printf("x[%d] = %lf\n", i, x[i]); // 输出解向量
    }

    return 0;
}

在这个例子中，我们要求解以下线性方程组：

2x1 + x2 - x3 = 8
-3x1 - x2 + 2x3 = -11
-2x1 + x2 + 2x3 = -3

代码中的 `a` 数组存储了系数矩阵 `A` 和常数向量 `b`，`x` 数组存储了解向量 `x`。在主循环中，首先将解向量初始化为零向量，然后进行迭代计算，直到误差小于预设值为止。在每一轮迭代中，我们先保存上一轮迭代的解向量，然后根据雅克比迭代公式计算当前迭代的解向量，最后判断当前解向量与上一轮迭代的解向量之间的误差是否小于预设值。如果误差大于预设值，则继续迭代；否则退出循环，输出最终的解向量。

需要注意的是，雅克比迭代法只适用于对角线元素不为零的情况。如果系数矩阵中存在多个对角线元素为零的情况，就需要使用其他的迭代方法，比如高斯-赛德尔迭代法或者超松弛迭代法。