设A=(1，2，3）关系R=(<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1><3，2＞,<3，3＞，证明R为A上偏序关系

为了证明关系R为A上偏序关系，需要证明它满足以下三个条件：

1. 自反性：对于任意的a∈A，(a,a)∈R。

显然，对于A中的所有元素，都有(a,a)∈R，因为R包含了所有元素与它本身的关系。

2. 反对称性：对于任意的a,b∈A，如果(a,b)∈R且(b,a)∈R，则a=b。

考虑任意的a,b∈A，如果(a,b)∈R且(b,a)∈R，那么根据R的定义，有(a,b)与(b,a)都属于R。根据集合的定义，对于(a,b)和(b,a)只可能有两种情况：a=b或者a≠b。如果a=b，则显然满足反对称性；如果a≠b，则由于R中存在(a,b)与(b,a)，而a≠b，所以R不满足反对称性。因此，只有a=b时，R才满足反对称性。

3. 传递性：对于任意的a,b,c∈A，如果(a,b)∈R且(b,c)∈R，则(a,c)∈R。

考虑任意的a,b,c∈A，如果(a,b)∈R且(b,c)∈R，那么根据R的定义，有(a,b)与(b,c)都属于R。根据集合的定义，对于(a,b)和(b,c)只可能有两种情况：a≤b或者a>b，b≤c或者b>c。如果a≤b且b≤c，则根据传递性可得a≤c，因此(a,c)∈R，R满足传递性。否则，如果a>b或者b>c，则无法得出(a,c)∈R，因此R不满足传递性。

由上述三个条件可知，关系R满足自反性、反对称性和传递性，因此R为A上偏序关系。

相关问题

设A=(12，33，关系R=(<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1><3，2＞,<3，3＞，证明R为A上偏序关系

要证明关系R为A上的偏序关系，需要满足以下三个条件：

1. 反自反性：对于任意的a∈A，都有(a, a)∉R。

2. 非对称性：对于任意的a, b∈A，如果(a, b)∈R，则(b, a)∉R。

3. 传递性：对于任意的a, b, c∈A，如果(a, b)∈R且(b, c)∈R，则(a, c)∈R。

现在我们逐一证明上述条件：

1. 反自反性：对于A中任意元素a=(12,33)，有(a, a)∉R，因为R中并没有形如(<a,a>)的有序对。

2. 非对称性：对于任意的a, b∈A，如果(a, b)∈R，则(a,b)的形式只有可能是以下几种情况：<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1><3，2＞,<3，3＞。而在R中并没有(<1,1>,<2,1>)、(<2,1>,<1,1>)、(<2,2>,<1,1>)、(<3,1>,<1,1>)、(<3,2>,<1,1>)、(<3,3>,<1,1>)、(<2,2>,<2,1>)、(<3,1>,<2,1>)、(<3,2>,<2,1>)、(<3,3>,<2,1>)、(<3,3>,<2,2>)、(<3,1>,<2,2>)、(<3,2>,<2,2>)、(<1,1>,<3,1>)、(<1,1>,<3,2>)、(<1,1>,<3,3>)、(<2,1>,<3,1>)、(<2,1>,<3,2>)、(<2,1>,<3,3>)、(<2,2>,<3,1>)、(<2,2>,<3,2>)、(<2,2>,<3,3>)、(<3,1>,<3,2>)、(<3,2>,<3,1>)、(<3,1>,<3,3>)、(<3,3>,<3,1>)、(<3,2>,<3,3>)、(<3,3>,<3,2>)这30种情况，因此可以得出结论：如果(a, b)∈R，则(b, a)∉R。

3. 传递性：对于任意的a, b, c∈A，如果(a, b)∈R且(b, c)∈R，则(a, c)∈R。我们可以通过分类讨论来证明：

- 当(b, c)=(1, 1)时，由于R中没有形如(<1,1>,<2,1>)、(<2,1>,<1,1>)、(<2,2>,<1,1>)、(<3,1>,<1,1>)、(<3,2>,<1,1>)、(<3,3>,<1,1>)、(<2,2>,<2,1>)、(<3,1>,<2,1>)、(<3,2>,<2,1>)、(<3,3>,<2,1>)、(<3,3>,<2,2>)、(<3,1>,<2,2>)、(<3,2>,<2,2>)、(<1,1>,<3,1>)、(<1,1>,<3,2>)、(<1,1>,<3,3>)、(<2,1>,<3,1>)、(<2,1>,<3,2>)、(<2,1>,<3,3>)、(<2,2>,<3,1>)、(<2,2>,<3,2>)、(<2,2>,<3,3>)、(<3,1>,<3,2>)、(<3,2>,<3,1>)、(<3,1>,<3,3>)、(<3,3>,<3,1>)、(<3,2>,<3,3>)、(<3,3>,<3,2>)这30种情况，所以(a, c)∈R。
- 当(b, c)=(1, 2)时，由于R中存在(<1,1>,<2,1>)和(<2,1>,<2,2>)，因此(a, c)∈R。
- 当(b, c)=(1, 3)时，由于R中存在(<1,1>,<3,1>)和(<3,1>,<3,3>)，因此(a, c)∈R。
- 当(b, c)=(2, 2)时，由于R中没有形如(<1,1>,<2,2>)、(<2,2>,<1,1>)、(<3,1>,<2,2>)、(<3,2>,<2,2>)、(<3,3>,<2,2>)这5种情况，所以(a, c)∈R。
- 当(b, c)=(2, 3)时，由于R中存在(<2,1>,<3,1>)和(<3,1>,<3,3>)，因此(a, c)∈R。
- 当(b, c)=(3, 3)时，由于R中不存在(<1,1>,<3,3>)、(<2,1>,<3,3>)、(<2,2>,<3,3>)这3种情况，所以(a, c)∈R。

综上所述，关系R为A上的偏序关系。

设A={1，2，3}，判断下列A上的二元关系各具有什么性质，（1）R1={<1,1>,<1,2>,<3,1>,<3,2>} （2）R2={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<1,3>,<3,3>}

对于二元关系R，常见的性质有自反性、对称性、反对称性和传递性。

(1) R1={<1,1>,<1,2>,<3,1>,<3,2>}

- 自反性：对于任意的a∈A，都有(a,a)∈R1，即R1是自反的。
- 对称性：对于任意的a,b∈A，若(a,b)∈R1，则(b,a)∈R1，因此R1是对称的。
- 反对称性：对于任意的a,b∈A，若(a,b)∈R1且(b,a)∈R1，则a=b，因此R1是反对称的。
- 传递性：对于任意的a,b,c∈A，若(a,b)∈R1且(b,c)∈R1，则(a,c)∈R1，因此R1是传递的。

综上所述，R1是自反的、对称的、传递的，但不是反对称的。

(2) R2={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<1,3>,<3,3>}

- 自反性：对于任意的a∈A，都有(a,a)∈R2，即R2是自反的。
- 对称性：对于任意的a,b∈A，若(a,b)∈R2，则(b,a)∈R2，因此R2是对称的。
- 反对称性：对于任意的a,b∈A，若(a,b)∈R2且(b,a)∈R2，则a=b，因此R2是反对称的。
- 传递性：对于任意的a,b,c∈A，若(a,b)∈R2且(b,c)∈R2，则(a,c)∈R2，因此R2是传递的。

综上所述，R2是自反的、对称的、反对称的、传递的，因此R2是等价关系。