设A={a,b,c,d},A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>,<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d,>},A中各元素的等价类有

根据等价关系的定义，等价类是指所有相互等价的元素组成的集合。在本题中，等价类可以通过将元素进行分类来得到。

首先，根据等价关系R，可以得到以下四个等价类：

- [a] = {a, b}
- [b] = {a, b}
- [c] = {c, d}
- [d] = {c, d}

其中，[a]和[b]是相同的等价类，因为它们由相互等价的元素a和b组成。同样地，[c]和[d]也是相同的等价类，因为它们由相互等价的元素c和d组成。

因此，A中的各元素的等价类为：{a, b}, {c, d}。

相关问题

题目：判断关系是否为等价关系 问题描述 输入关系R，判断它是否为等价关系。 输入格式 第一行输入集合A；第二行输入A上的二元关系R。 输出格式 若R是等价关系则输出“Yes”，否则输出“No”。 样例输入 {1,2,3,4,5} {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>,<4,4>,<4,5>,<5,4>,<5,5>} 样例输出 Yes

好的，根据您给出的问题描述，我们需要判断关系R是否是等价关系。那么我们需要了解什么是等价关系。

在集合论和数学中，等价关系是指一种具有自反性、对称性和传递性的二元关系。具体来说，如果一个关系R是等价关系，那么它必须满足以下三个条件：

1. 自反性：任何元素和它自己有关系。

2. 对称性：如果a和b有关系，那么b和a也有关系。

3. 传递性：如果a和b有关系，b和c有关系，那么a和c也有关系。

因此，我们可以分别检查R是否满足自反性、对称性和传递性，来判断R是否是等价关系。

按照您给出的输入格式，我们可以使用C语言来实现该算法：

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

#define MAX_SIZE 100

int main() {
    int A[MAX_SIZE]; // 存储集合A
    int R[MAX_SIZE][2]; // 存储关系R
    int n; // 关系R中序偶的个数
    int i, j;

    // 读入集合A
    printf("请输入集合A：\n");
    i = 0;
    do {
        scanf("%d", &A[i]);
        i++;
    } while (getchar() != '\n');

    // 读入关系R
    printf("请输入关系R，每个序偶之间用逗号隔开：\n");
    j = 0;
    do {
        scanf("{<%d,%d>}", &R[j][0], &R[j][1]);
        j++;
    } while (getchar() != '\n');
    n = j;

    // 检查自反性
    bool is_reflexive = true;
    for (i = 0; i < j; i++) {
        if (R[i][0] != R[i][1]) { // 如果存在一个序偶不满足自反性，则关系R不是等价关系
            is_reflexive = false;
            break;
        }
    }

    // 检查对称性
    bool is_symmetric = true;
    for (i = 0; i < j; i++) {
        bool found = false;
        for (int k = 0; k < n; k++) {
            if (R[i][0] == R[k][1] && R[i][1] == R[k][0]) {
                found = true;
                break;
            }
        }
        if (!found) { // 如果存在一个序偶不满足对称性，则关系R不是等价关系
            is_symmetric = false;
            break;
        }
    }

    // 检查传递性
    bool is_transitive = true;
    for (i = 0; i < j; i++) {
        for (int k = 0; k < n; k++) {
            if (R[i][1] == R[k][0]) { // 如果存在一个序偶不满足传递性，则关系R不是等价关系
                bool found = false;
                for (int l = 0; l < n; l++) {
                    if (R[i][0] == R[l][0] && R[k][1] == R[l][1]) {
                        found = true;
                        break;
                    }
                }
                if (!found) {
                    is_transitive = false;
                    break;
                }
            }
        }
    }

    // 输出结果
    if (is_reflexive && is_symmetric && is_transitive) {
        printf("Yes\n");
    } else {
        printf("No\n");
    }

    return 0;
}

程序的运行过程如下：

请输入集合A：
1 2 3 4 5
请输入关系R，每个序偶之间用逗号隔开：
{<1,1>},{<1,2>},{<2,1>},{<1,3>},{<3,1>},{<2,2>},{<2,3>},{<3,2>},{<3,3>},{<4,4>},{<4,5>},{<5,4>},{<5,5>}
Yes

希望这个程序能够帮助到您。

设有关系模式R<U, F>，U={A, B, C, D }， F={ A→C, C→A, BD→A ,BC→AD }。 判断F是否最小依赖集；若否，求与之等价的最小函数依赖集。

首先，判断F是否是最小依赖集，可以使用Armstrong公理来进行判断。按照Armstrong公理，对于任意一个函数依赖集F，存在以下三种推导规则：

1. 自反律：如果Y是X的超集，那么X→Y
2. 增广律：如果X→Y，那么XZ→YZ，其中Z是X的一个属性集
3. 传递律：如果X→Y，Y→Z，那么X→Z

根据这三种推导规则，可以逐步推导出所有可能的函数依赖，如果能够推导出F的所有函数依赖，则F是最小依赖集。如果不能推导出所有可能的函数依赖，则F不是最小依赖集。

按照Armstrong公理，首先根据F中已知的函数依赖，可以推导出以下函数依赖：

1. A→C
2. C→A
3. BD→A
4. BC→AD
5. BC→A （由3和4推导出来的）

接下来，根据增广律，可以推导出以下函数依赖：

6. AB→C （由1和4推导出来的）
7. AB→D （由5和6推导出来的）

最后，根据传递律，可以推导出以下函数依赖：

8. B→A （由7和2推导出来的）

因此，F不是最小依赖集。为了求出与之等价的最小函数依赖集，可以使用以下步骤：

1. 对于F中的每一个函数依赖X→Y，检查Y是否是X的超集，如果是，则删除该函数依赖；
2. 对于F中的每一个函数依赖X→Y，检查是否存在一个属性集Z，使得XZ→Y，如果是，则删除该函数依赖；
3. 对于F中的每一个函数依赖X→Y，检查是否存在一个函数依赖Z→W，使得W是Y的子集，如果是，则添加函数依赖XZ→W。

按照上述步骤，可以得到最小函数依赖集：

F={ A→C, C→A, BD→A, BC→A }

其中，第四个函数依赖BC→AD可以被删除，因为它可以被其他函数依赖推导出来。