求 R=｛｛a｝，｛b，c｝，｛d｝｝上的等价关系

根据等价关系的定义，需要满足以下三个条件：

1. 自反性：对于任意元素a∈R，(a,a)∈R。
2. 对称性：对于任意元素a,b∈R，若(a,b)∈R，则(b,a)∈R。
3. 传递性：对于任意元素a,b,c∈R，若(a,b)∈R且(b,c)∈R，则(a,c)∈R。

根据这三个条件，我们可以判断出在集合R=｛｛a｝，｛b，c｝，｛d｝｝上的等价关系如下：

1. (a,a)∈R，(b,b)∈R，(c,c)∈R，(d,d)∈R（自反性）；
2. 由于集合中只有｛a｝、｛b，c｝、｛d｝这三个元素，因此只需考虑｛a｝和｛b，c｝两个元素是否满足对称性。若(a,b)∈R，则由于b和c等价，所以也应该有(a,c)∈R。反之亦然。因此有：(a,b)∈R ⇔ (a,c)∈R；(b,a)∈R ⇔ (c,a)∈R；(b,c)∈R ⇔ (c,b)∈R（对称性）；
3. 因为集合中只有三个元素，所以只需考虑三个元素之间的传递性即可。如果(a,b)∈R且(b,c)∈R，则(a,c)∈R（传递性）。同理，可得(b,c)∈R且(c,a)∈R，则(b,a)∈R；(b,a)∈R且(a,d)∈R，则(b,d)∈R；(c,d)∈R且(d,b)∈R，则(c,b)∈R。根据这些传递关系，可以得到所有满足传递性的关系。

综上所述，在集合R=｛｛a｝，｛b，c｝，｛d｝｝上，等价关系为：

R = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,c), (c,a), (b,c), (c,b), (b,a), (a,b), (b,d), (d,b), (c,d), (d,c)}。

相关问题

设 A = {<a,b>| a,b ∈ N}，定义 A 上的一个二元关系 R = {<<a,b>,<c,d>> | ad = bc } 证明：R 是 A 上的等价关系，细致讲解一下这道题

要证明 R 是 A 上的等价关系，需要满足三个条件：自反性、对称性和传递性。

首先，证明自反性。对于任意的 <a,b> ∈ A，有 a,b ∈ N，因此 ad = ad，即 <a,b> R <a,b>，满足 R 的自反性。

其次，证明对称性。对于任意的 <a,b>, <c,d> ∈ A，若 <a,b> R <c,d>，即 ad = bc，则有 cb = da，即 <c,d> R <a,b>，满足 R 的对称性。

最后，证明传递性。对于任意的 <a,b>, <c,d>, <e,f> ∈ A，若 <a,b> R <c,d>，即 ad = bc，且 <c,d> R <e,f>，即 cf = de，则有 ae = bd = bf = cd×d/b = ce×d/f，即 <a,b> R <e,f>，满足 R 的传递性。

因此，R 是 A 上的等价关系。

10.设S是A上一个等价关系，R=S*S（即S2）。证明R也是A上一个等价关系

为了证明R是A上的等价关系，需要满足以下三个条件：

1. 自反性：对于任意的a∈A，(a,a)∈R。

2. 对称性：对于任意的a,b∈A，如果(a,b)∈R，那么(b,a)∈R。

3. 传递性：对于任意的a,b,c∈A，如果(a,b)∈R且(b,c)∈R，那么(a,c)∈R。

首先证明R满足自反性。对于任意的a∈A，(a,a)是S的一个元素，因为S是等价关系，所以(a,a)∈S*S=R。因此，R满足自反性。

接下来证明R满足对称性。对于任意的a,b∈A，如果(a,b)∈R，那么存在c∈A，使得(a,c)∈S且(c,b)∈S。因为S是等价关系，所以也有(b,a)∈S。类似地，由(b,a)∈S和S是等价关系可知(a,b)∈S，因此(a,b)∈S*S=R。因此，R满足对称性。

最后证明R满足传递性。对于任意的a,b,c∈A，如果(a,b)∈R且(b,c)∈R，那么存在d,e∈A，使得(a,d)∈S，(d,b)∈S，(b,e)∈S和(e,c)∈S。因为S是等价关系，所以(d,e)∈S。因此，有(a,e)∈S*S=R。因此，R满足传递性。

综上所述，R满足自反性、对称性和传递性，因此R是A上的等价关系。