分别改写方程2*+x-4=0为 :=-2*+4和x=ln(4-x)/ln2的形式,对两者相应迭代 3 公式求所给方程在[1,2]内的实根, 下列描述正确的是( )。 A. 前者收敛,后者发散 B. 前者发散,后者收敛
时间: 2023-08-31 20:34:23 浏览: 281
### 回答1:
我们可以使用不同的迭代方法来求解方程 $2x - 4 = 0$,并检查它们在区间 $[1,2]$ 内的收敛性。下面分别介绍这两种迭代方法:
1. $x_{n+1} = -\frac{4}{2}$,即 $x_{n+1} = -2$,这是一个常数迭代方法。将初始值 $x_0=1$ 代入可得:
$x_1 = -2$,$x_2 = -2$,$x_3 = -2$,$\ldots$
显然,这个迭代方法是发散的。
2. $x_{n+1} = \frac{\ln(4-x_n)}{\ln 2}$,这是一个基于对数函数的迭代方法。将初始值 $x_0=1$ 代入可得:
$x_1 \approx 1.415$, $x_2 \approx 1.794$, $x_3 \approx 1.924$, $\ldots$
我们可以发现,这个迭代方法是收敛的,并且收敛到 $x \approx 1.924$,这是方程 $2x - 4 = 0$ 在区间 $[1,2]$ 内的实根。
因此,选项 B 正确,即前者发散,后者收敛。
### 回答2:
我们首先将方程2x-4=0改写为:x=2。
然后,我们将方程x=ln(4-x)/ln2改写为:x=ln(4-x)/ln2。
接下来,我们分别使用前者和后者进行3次迭代计算,并观察其结果。
对于前者,我们将初始值x=1带入迭代公式中,得到x=2,再将x=2带入迭代公式中,仍然得到x=2,再将x=2带入迭代公式中,仍然得到x=2。可以发现,对于前者进行3次迭代后,结果始终为x=2。因此,前者收敛。
对于后者,我们将初始值x=1带入迭代公式中,得到x=2.079,再将x=2.079带入迭代公式中,得到x=2.081,再将x=2.081带入迭代公式中,得到x=2.08。可以发现,对于后者进行3次迭代后,结果已经接近2.08。因此,后者收敛。
由此可知,正确的描述是B. 前者发散,后者收敛。
### 回答3:
正确的描述是A. 前者收敛,后者发散。
首先我们先来看前者的迭代公式 :=-2* 4。
初始值 x0=1 则 x1=-2* 4=8, x2=-2* 8=-16, x3=-2* (-16)=32。
可以看到,通过迭代公式计算出的结果在不断逼近实根2,因此前者收敛。
接下来我们看后者的迭代公式 x=ln(4-x)/ln2。
初始值 x0=1,则 x1=ln(4-1)/ln2=2.58496,x2=ln(4-2.58496)/ln2=2.80735,x3=ln(4-2.80735)/ln2=2.80997。
通过迭代公式计算出的结果在不断逼近实根2,因此后者也收敛。
综上所述,正确的描述是A. 前者收敛,后者发散。