设x1, x2, …, xn是实直线上的n个点。用固定长度的闭区间覆盖这n个点,至少需要多少个这样固定长度闭区间?
时间: 2023-08-31 10:40:12 浏览: 138
### 回答1:
这个问题可以使用贪心算法来解决。具体的做法是,从左到右遍历这n个点,用一个长度为L的区间尽可能地向右覆盖,直到不能再向右覆盖为止,然后记录这个区间的右端点,继续向右遍历,直到遍历完所有的点。
具体地,假设当前遍历到第i个点,已经选择了k个区间,则我们需要在[i, n]这个区间内选择一个区间,使得这个区间的左端点在i及其右侧的点中,同时尽量向右覆盖更多的点。具体地,假设j是满足xj−xi≤L的最大的j,则选择区间[ i , j ],并将j作为下一次遍历的起点。
重复这个过程,直到遍历完所有的点。由于每次选择的区间都尽可能地向右覆盖更多的点,因此所选择的区间数目一定是最小的。
时间复杂度为O(nlogn),其中n是点的个数。
### 回答2:
假设这n个点中的最小值为min,最大值为max。设定固定长度的闭区间的长度为d。
如果我们将第一个闭区间放在min的位置,那么为了覆盖到其他的点,我们至少需要再放置n-1个闭区间。因此,至少需要n个闭区间。
但是我们可以发现,如果我们将第一个闭区间的起点放在min + d的位置,那么至少可以将前两个点都覆盖到。同样地,我们可以将第二个闭区间的起点放在min+ 2d的位置,至少可以将前三个点都覆盖到。以此类推,我们可以将第i个闭区间的起点放在min + id的位置,那么至少可以将前i + 1个点都覆盖到。
可以看出,当第i个闭区间的起点位置超过max,即 min + id > max 时,无法再覆盖到第i + 1个点。因此,i的最大值为n-1,即我们需要放置n个闭区间才能覆盖到所有的点。
综上所述,至少需要n个这样固定长度闭区间。
### 回答3:
要覆盖这n个点,至少需要n个固定长度闭区间。
设固定长度闭区间的长度为d。以x1为起点的闭区间可以覆盖到x1+d点,而x1+d点后的第一个点x2无法被这个闭区间覆盖到。所以我们需要再加一个长度为d的闭区间,以覆盖到x2点。同理,x2+d点后的第一个点x3也无法被前两个闭区间覆盖到,所以我们需要再加一个长度为d的闭区间,以覆盖到x3点。以此类推,每增加一个点,都需要再加一个长度为d的闭区间。
因此,要覆盖n个点,至少需要n个固定长度闭区间。
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