最优二叉搜索树pta.

最优二叉搜索树是指在所有可能的二叉搜索树中，查找所有节点所需的平均比较次数最小的树。在动态规划算法中，可以利用一个二维数组dp[i][j]表示节点i到节点j所构成的子树的最优二叉搜索树，其中i<=j。状态转移方程为:

dp[i][j] = min{dp[i][k-1]+dp[k+1][j]+w[i][j]}，其中i<=k<=j，w[i][j]表示节点i到节点j的所有权值和。

在算法实现时，可以先计算出所有w[i][j]的值，并初始化dp[i][i]为节点i的权值。然后，按照子树大小从小到大依次计算dp[i][j]的值，最终得到dp[1][n]即为整棵树的最优解。

相关问题

编程完成动态规划法求解最优二叉搜索树 1 随机化查找数字及其查找成功概率，求出最优二叉搜索树。 2 分析求解的过程并且解释说明。

### 回答1：
首先，让我们来理解一下什么是最优二叉搜索树。

最优二叉搜索树是一种特殊的二叉搜索树，其中每个节点都有一个关键字和一个概率值。该树的目标是最小化搜索的期望成本，即期望搜索次数乘以每次搜索的成本。这通常用来表示在一组键被搜索时所需的最小平均比较次数。

现在，让我们来看看如何使用动态规划解决这个问题。

首先，我们需要定义两个数组：一个是 $e[i,j]$，表示在 $i$ 到 $j$ 的节点范围内构建最优二叉搜索树的期望代价，另一个是 $w[i,j]$，表示在 $i$ 到 $j$ 的节点范围内所有节点的概率之和。

接下来，我们需要使用以下公式来计算 $e[i,j]$ 和 $w[i,j]$：

$e[i,j] = \begin{cases} q_{i-1} & j = i - 1\\ \min_{i\le k \le j}\{e[i,k-1] + e[k+1,j] + w[i,j]\} & i \le j \end{cases}$

$w[i,j] = \begin{cases} p_i + q_i & j = i\\ w[i,j-1] + p_j + q_j & j > i\\ \end{cases}$

其中，$p_i$ 和 $q_i$ 分别表示键 $i$ 的查找概率和未查找概率。

最后，我们可以使用动态规划算法来计算最优二叉搜索树。具体步骤如下：

1. 初始化 $e[i,i-1] = q_{i-1}$ 和 $w[i,i-1] = q_{i-1}$，其中 $1\le i \le n+1$，$n$ 为节点数。

2. 对于所有 $i,j$，按照节点范围由小到大的顺序计算 $e[i,j]$ 和 $w[i,j]$。

3. 最终的最优解为 $e[1,n]$。

通过使用随机化查找数字及其查找成功概率，我们可以计算出最优二叉搜索树，并且可以保证它是最优的。同时，我们还可以通过动态规划算法来分析求解的过程，并且解释说明每个步骤的含义和作用。

### 回答2：
动态规划法求解最优二叉搜索树的思路如下：

1. 随机化查找数字及其查找成功概率：给定一个数字集合和每个数字的查找成功概率，首先需要生成一个随机的排列顺序，来模拟实际的查找情况。假设数字集合为 {1, 2, 3, ..., n}，利用洗牌算法随机打乱数字的顺序，并以该顺序作为最优二叉搜索树构建的依据。

2. 定义状态和状态转移方程：在动态规划中，需要定义状态和状态转移方程来描述问题的结构。在此问题中，我们定义一个二维数组 dp[i][j] 表示以数字集合中的第i到第j个数字为根的最优二叉搜索树的期望搜索代价。

状态转移方程为：
dp[i][j] = min(dp[i][k-1] + dp[k+1][j]) + sum(p[i]...p[j])
其中，i≤k≤j，p[i]...p[j]表示数字集合中第i到第j个数字的概率之和。
该状态转移方程表示，以数字集合中第k个数字为根的最优二叉搜索树的期望搜索代价等于其左子树和右子树的最优搜索代价之和，再加上以根节点k进行搜索的概率。

3. 计算最优解：利用计算出的状态转移方程，可以从小规模问题逐步推导到大规模问题。首先，计算单个数字作为根节点的最优搜索代价，然后逐渐扩展计算，直到计算出最优二叉搜索树的期望搜索代价。

4. 构建最优二叉搜索树：在计算最优解的过程中，可以记录下每个节点的选择情况，即其中一个选择作为根节点的位置。根据这些选择，可以递归地构建最优二叉搜索树。

动态规划法求解最优二叉搜索树的过程是先计算小规模问题的最优解，再利用最优解逐渐计算大规模问题的最优解。通过定义状态和状态转移方程，不断更新最优解，最终得到最优二叉搜索树的期望搜索代价，并根据选择情况构建最优二叉搜索树。

### 回答3：
动态规划法是一种将问题分解为子问题并以迭代的方式逐步求解的方法。对于最优二叉搜索树的求解，也可以使用动态规划法。

首先，我们需要随机选择一些数字以及它们的查找成功概率。然后，我们可以通过动态规划的方法，逐步计算出最优二叉搜索树。

具体的求解过程如下：
1. 建立一个二维数组dp，dp[i][j]表示从i到j这些数字构成的二叉搜索树的最小期望搜索代价。
2. 初始时，对于所有的i，dp[i][i]的值等于它对应的数字的查找成功概率。
3. 我们需要计算不同长度的子问题的最小期望搜索代价，从最小的子问题开始逐步计算。对于长度为len的子问题，我们可以通过遍历不同的根节点的方式，分别计算出所有可能的最小期望搜索代价，并得到最优解。
4. 对于长度为len的子问题，假设根节点为k，则左子树的范围为i到k-1，右子树的范围为k+1到j。我们可以根据这个划分，将子问题拆分为左右两个子问题，分别计算它们的最小期望搜索代价。
5. 对于不同的根节点k，计算出所有可能的最小期望搜索代价，并选择最小值作为子问题的最优解。
6. 最后，我们可以得到整个问题的最优解dp[1][n]，即从1到n这些数字构成的最优二叉搜索树的最小期望搜索代价。

通过以上的求解过程，我们可以得到最优二叉搜索树的最小期望搜索代价，并且可以得到具体的树结构。动态规划法对于最优二叉搜索树的求解非常高效，适用于大规模的问题。

5. 手算结合绘图，求解以下最优二叉搜索树问题：si={s1,s2,s3}，pi={0.5,0.1,0.05}，qi={0.15,0.1,0.05,0.05}。要求：绘制每一步计算得到的最优二叉搜索树。

最优二叉搜索树（Optimal Binary Search Tree，简称OBST）问题的目标是构建一棵二叉搜索树，使得插入新元素的时间复杂度最小。在这个例子中，我们有三个关键字`s1`, `s2`, 和 `s3`，它们的概率分别为`0.5`, `0.1`, 和 `0.05`；对应的查找成本分别是`q1 = 0.15`, `q2 = 0.1`, `q3 = 0.05, q4 = 0.05`。为了手动计算和绘制，我们可以采用贪心策略，每次选择最有可能被访问的节点作为根节点，同时保证左子树和右子树也都是最优的。

以下是手算步骤：

1. 计算总概率：`P = p1 + p2 + p3 = 0.5 + 0.1 + 0.05 = 0.65`
2. 首先选择`si1`作为根，因为它的概率最大，然后计算剩余元素的累积概率：`CP = (p2+p3) * (1-q1) = (0.1+0.05) * (1-0.15)`
3. 继续构建左子树：选择`s2`（因为它的累积概率占比最高），此时CP = `(p3 * (1-q2)) = (0.05 * (1-0.1))`
4. 构建右子树：最后选择`s3`，因为`CP`已不足以覆盖`s4`的成本，所以直接作为右子树。

绘制过程中，我们会用一个简单的图形表示每一步的选择和分割，根节点代表`s1`，左子树表示`s2`，右子树表示`s3`。树形结构将是这样的：

        s1
       / \
      s2   s3
             \
              s4

这里的`s4`虽然没有直接出现在给定的输入中，但它代表了后续可能出现的未知元素。