最优二叉搜索树pta.

最优二叉搜索树是指在所有可能的二叉搜索树中，查找所有节点所需的平均比较次数最小的树。在动态规划算法中，可以利用一个二维数组dp[i][j]表示节点i到节点j所构成的子树的最优二叉搜索树，其中i<=j。状态转移方程为:

dp[i][j] = min{dp[i][k-1]+dp[k+1][j]+w[i][j]}，其中i<=k<=j，w[i][j]表示节点i到节点j的所有权值和。

在算法实现时，可以先计算出所有w[i][j]的值，并初始化dp[i][i]为节点i的权值。然后，按照子树大小从小到大依次计算dp[i][j]的值，最终得到dp[1][n]即为整棵树的最优解。

相关问题

动态规划最优二叉搜索树算法

动态规划最优二叉搜索树算法的基本思想是利用最优子结构来求解问题。首先定义e[i,j]为包含关键字k[i,...,j]的最优二叉搜索树的期望搜索代价，e[1,n]为问题的最终解。算法的过程可以分为以下几个步骤：

1. 初始化：对于每个关键字k[i]，将e[i,i-1]和w[i,i-1]初始化为d[i-1]和d[i-1]的值，其中w[i,i-1]表示权重。

2. 计算子问题：对于每个子问题的长度l（从2到n），计算e[i,j]和w[i,j]的值。其中e[i,j]表示包含关键字k[i,...,j]的最优二叉搜索树的期望搜索代价，w[i,j]表示子树的权重。

3. 填表：根据最优子结构的性质，逐步填充e[i,j]和w[i,j]的值。

4. 寻找根节点：根据填表得到的e和w数组，可以找到最优二叉搜索树的根节点。

5. 构建最优二叉搜索树：根据根节点，递归地构建最优二叉搜索树。

以上就是动态规划最优二叉搜索树算法的基本步骤。通过这个算法，我们可以找到包含给定概率集合的期望搜索代价最小的二叉搜索树。

伪代码：最优二叉搜索树

最优二叉搜索树（Optimal Binary Search Tree）是一种特殊的二叉搜索树，它的搜索效率最高。伪代码是一种类似于编程语言的描述方式，用于描述算法的逻辑结构。下面是一个伪代码的示例，用于描述最优二叉搜索树的构建过程：

function OptimalBST(keys, freq, n):
    // 创建一个二维数组cost和root，用于存储最优二叉搜索树的代价和根节点
    cost = new Array[n][n]
    root = new Array[n][n]

    // 初始化只包含一个关键字的情况
    for i = 0 to n:
        cost[i][i] = freq[i]
        root[i][i] = i

    // 构建最优二叉搜索树
    for L = 2 to n:
        for i = 0 to n - L + 1:
            j = i + L - 1
            cost[i][j] = INFINITY

            // 计算子树的代价
            for r = i to j:
                c = sum(freq[i:j]) + (cost[i][r-1] if r > i else 0) + (cost[r+1][j] if r < j else 0)
                if c < cost[i][j]:
                    cost[i][j] = c
                    root[i][j] = r

    return cost[0][n-1], root

// 示例调用
keys = [1, 2, 3, 4, 5]
freq = [0.1, 0.2, 0.4, 0.3, 0.1]
n = len(keys)
cost, root = OptimalBST(keys, freq, n)

上述伪代码中，`keys`是关键字的数组，`freq`是每个关键字的频率数组，`n`是关键字的数量。`cost`数组用于存储最优二叉搜索树的代价，`root`数组用于存储每个子树的根节点。通过动态规划的方式，计算出最优二叉搜索树的代价和根节点，最后返回最优二叉搜索树的代价和根节点。